今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第２問を取り上げ、解説します。
正のというのは０より大きいということで、abcd、ab、bc、cd、daはそれぞれa×b×c×d、a×b、b×c、c×d、d×aということです。
４つの整数a、b、c、dは条件的に同じですね。
２０２５＝４５×４５＝３×３×３×３×５×５となります。
まず、素因数５（合計２個）の割り振りについて考えます。
素因数５を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つ、例えばaに割り振ると、a×bが平方数であることから、bにも素因数５を奇数個（１個）割り振ることになります。また、b×cが平方数であることから、cにも素因数５を奇数個割り振る必要がありますが、素因数５は２個しかないので、無理ですね。
したがって、素因数５を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つに割り振ることができず、素因数５を２個とも４つの整数a、b、c、dのうちの１つに割り振ることになります。
この場合、素因数５の割り振りについては、平方数の条件をすべて満たしますね。
結局、素因数５の割り振りの仕方については４通りあります。
次に、素因数３（合計４個）の割り振りについて考えます。
素因数３を１つだけ４つの整数a、b、c、dのうちの１つ、例えばaに割り振ると、a×bが平方数であることから、bにも素因数３を奇数個（１個か３個）割り振ることになります。
bに素因数３を１個割り振ると、b×cが平方数であることから、cにも素因数３を奇数個（１個）割り振ることになり、c×dが平方数であることから、dにも素因数３を奇数個（１個）割り振ることになります。
この場合、素因数３の割り振りについては、平方数の条件をすべて満たしますね。
bに素因数３を３個割り振ると、b×cが平方数であることから、cにも素因数３を奇数個割り振る必要がありますが、素因数３は４個しかないので、無理ですね。
説明すると上のようになるのですが、文章で書くのはさすがに面倒なので、以下では、省略します。
同様の議論により、素因数３の割り振りについては、結局のところ、
（あ）１個、１個、１個、１個
（い）２個、２個、０個、０個
（う）４個、０個、０個、０個
の３つの場合があります。
あとは、４つの整数a、b、c、dにどのように割り当てるかを考えるだけです（まず選び出し、次に並べるという場合の数の基本通りの考え方です）。
（あ）の場合
１通りあります。
（い）の場合
４つの整数a、b、c、dのうちどの２つの整数に素因数３を２個割り当てるかを考えればよく、（４×３）/（２×１）＝６通りあります。
（う）の場合
４つの整数a、b、c、dのうちどの１つの整数に素因数３を４個割り当てるかを考えればよく、４通りあります。
結局、素因数３の割り振りの仕方については１＋６＋４＝１１通りあります。
したがって、正の整数の組(a,b,c,d)は４×１１＝４４通りあります。
因みに、上の解説では、素因数３と５のそれぞれの割り振りについて一応調べていますが、いずれの割り振りについても偶奇が一致するように４つの整数a、b、c、d対して割り振る必要があることはすぐにわかります。
そのことを示しておきます。
a×b、b×cがともに平方数だから、a×b×b×cも平方数となりますが、b×bは平方数だから、a×cも平方数となります。
また、b×c、c×dがともに平方数だから、b×c×c×dも平方数となりますが、c×cは平方数だから、b×dも平方数となります。
結局、４つの整数a、b、c、dのうちどの２つの整数の積も平方数となります。
仮に、４つの整数a、b、c、dのうち、素因数３または５の個数の偶奇が異なるものがあるとすると、その２整数の積は平方数となりえず、矛盾が生じますね。
上の解説では、素因数３と５の個数に着目して解きましたが、（a×b）×（c×d）と（b×c）×（d×a）がともに２０２５である（（a×b）と（c×d）が２０２５の約数のペアのうちともに平方数となるものとなり、（b×c）と（d×a）も同様となります）ことに着目して解いてもいいでしょう。
