１０％の食塩水２００ｇを入れた容器がある。この容器からｘｇの食塩水をくみ出した後、ｘｇの水を入れてよくかき混ぜた。さらに、ｘｇの食塩水をくみ出した後、ｘｇの水をいれてよくかき混ぜたところ、濃度が３．６％になった。
このとき、ｘの値を求めよ。
比の積・商を利用すれば簡単に解ける問題で、中学入試でも同じような問題が昔から出されています（神戸女学院中学部２００２年算数第２問、清風南海中学校２００１年算数第５問など）。
上記の各問題とは毛色の異なる問題となりますが、比の積・商を利用すれば簡単に解ける問題を１問紹介しておくので、ぜひ解いてみましょう。
詳しくは、下記ページで。
次の□にあてはまる数を求めなさい。
（８＋□）：（３２－□）＝２６：５４（２つの□には同じ数が入ります）
内項の積＝外項の積を利用するのではなく、和一定に着目して解けば１０秒程度で解けます。
２６：５４をあらかじめ約比しておけば、比を揃える必要もありませんしね。
解説ページで紹介している問題（差一定に着目する問題、和一定に持ち込む問題）や洛南高校附属中学校２０２３年算数第１問（４）（和一定に着目する問題）もぜひ解いてみましょう。
詳しくは、名古屋中学校２０２４年算数第１問（３）の解答・解説で。
日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２３年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２３年予選第４問を取り上げ、解説します。
算数オリンピック、ジュニア算数オリンピック、最難関中学校の入試問題で出されても何の不思議もない問題です。
「正の」というのは０より大きいということです。
与えられた１０個の式の値はいずれも１＋２＝３以上ですね（下限チェック！）。
３以上の素数はすべて奇数（下限チェックをしたのは、唯一の偶数の素数２を排除したかったからです）だから、１０個の式の値のうち奇数となるものが最大何個になるかをまず考えます。
５つの整数a、b、c、d、eの偶奇については次の６通りの場合が考えられます。
２整数の和が奇数となるのは、２整数の偶奇が異なるときであることを考慮すれば、１０個の式の値のうち奇数となるものの個数がすぐにわかりますね。
（あ）偶数０個、奇数５個・・・１０個の式の値のうち奇数となるものは０×５＝０個
（い）偶数１個、奇数４個・・・１０個の式の値のうち奇数となるものは１×４＝４個
（う）偶数２個、奇数３個・・・１０個の式の値のうち奇数となるものは２×３＝６個
（え）偶数３個、奇数２個
（お）偶数４個、奇数１個
（か）偶数５個、奇数０個
１０個の式の値のうち奇数となるものは最大で６個で、それは、（う）または（え）の場合となります。
したがって、１０個の式の値のうち素数となるものは６個以下であることになります。
以下、実際に、６個となる場合があるかチェックします。
とりあえず（う）の場合について考えます。
小さい数から考えていくのがいいでしょう。
１、２、３、４，・・・とすると、１＋４＝２＋３となり、奇数となるものの値が一致してしまい、駄目ですね（１０個の式の値が「異なる」素数となっていないので、これでもいいでしょうが・・・）。
１、２、３、６、・・・（１、２、３、８、・・・）とすると、３＋６＝９（１＋８＝９）となり、奇数となるものの値が素数とならず、駄目ですね。
これらのことに注意しながら、５つの整数を確定させていきます。
とりあえず２を外してみます。
１、３、４、７の時点で、１＋４＝５、３＋４＝７、４＋７＝１１となるので、あとは、１、３、７に同じ偶数を足して素数となるものを求めることになります。
１０を考えると、１＋１０＝１１、３＋１０＝１３、７＋１０＝１７となり、すべて素数になりますが、４＋７＝１＋１０となるので、とりあえず別のものを考えてみます（先ほど書いたように、これでもいいでしょうが・・・）
１２を考えると、１２＋３＝１５が素数でないから駄目（３があるから３の倍数は使えないことが確かめるまでもなくわかっています）で、１４を考えると、１＋１４＝１が素数でないから駄目（７があるから７の倍数は使えないことが確かめるまでもなくわかっています）ですが、１６を考えると、１＋１６＝１７、３＋１６＝１９、７＋１６＝２３となり、しかも５、７、１１、１７、１９、２３は異なる素数となって、すべて異なる素数となっていますね。
したがって、１０個の式のうち値が素数となるものの個数としてありうる最大の値は６となります。
因みに、５つの整数としては、（１、３、４、７、４０）、（１、３、４、７、１００）などたくさんあり、すぐに見つけることができます。
１０１、１０３、１０７、１０９、・・・というように、１００以上の素数を小さいものからすぐに書き出すことができる人であれば、例えば、１０１、１０３、１０７から逆算して、奇数は１、３、７、偶数は１００で、残りの偶数として、２は駄目で、４はオーケーだからと考えて（１、３、４、７、１００）の組をすぐに見つけられますし、また、例えば、１０３、１０７、１０９から逆算して、奇数は３、７、９、偶数は１００で、残りの偶数として、２は駄目で、４はオーケーだからと考えて（３、４、７、９、１００）の組をすぐに見つけられます。
私自身も最初にこちらをすぐに見つけましたが、上の解説では誰でも思いつくだろうと思われる見つけ方をまず紹介しました。
なお、１から１００までの素数は２５個ありますが、エラトステネスの篩で簡単に書き出すことができます（自治医科大学２０１６年医学部数学第６問の解答・解説を参照）。
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１１×１１から１９×１９までの計算結果である８１個の数が書かれている表の数の和を答えなさい。
以前取り上げた九九の計算結果の和を求める問題（海陽中等教育学校２０２５年特別給費算数第１問（１）の解答・解説）同様、面積図をイメージして解けばよいでしょう。
なお、下のように、分配法則の逆を利用して解くこともできます。
まず、それぞれの段ごとに分配法則の逆を利用し、その後全体について分配法則の逆を利用します。
１１×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９） １１の段
＋１２×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９） １２の段
＋１３×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９） １３の段
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＋１８×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９） １８の段
＋１９×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９） １９の段
（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９）×（１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＋１７＋１８＋１９）
＝１３５×１３５
＝１８２２５
筑波大学附属駒場中学校２０１１年算数第３問もぜひ解いてみましょう。
詳しくは、海陽中等教育学校２０２５年特別給費算数第１問（２）の解答・解説で。
１以上１７６以下の整数のうち、１７６との最大公約数が１である整数は[ ]個あります。
オイラー関数の知識があれば、解くのに３０秒もかからないでしょう。
もっとも、２でも１１でも割り切れない整数の個数を調べることになるこの問題の場合、１から２２までの整数を２２個調べて解いても大した手間はありません。
奇数だけ調べればいいですし、２２/２＝１１個の奇数のうち１１だけが条件を満たさないことがすぐにわかり、（１１－１）×１７６/２２＝８０個とできますから。
ただ、下の問題になると、オイラー関数の知識の有無で時間的にかなり差がつくと思います。
詳しくは、武蔵中学校２０２４年算数第１問（１）の解答・解説で。
