今日は朝から内田「集合と位相」を読んでいて、第二章を読み終わりました。
集合Ａから集合Ｂへの全単射が存在するとき、ＡとＢは濃度が等しいという。で、自然数全体の集合Ｎと濃度の等しい集合を可算集合と呼ぶが、可算集合には偶数全体、奇数全体、整数全体、有理数全体の集合があるが、実数全体の集合Rに関しては可算集合と呼べない。このことをカントールが対角線論法を用いて証明しています。
さらに、集合A、集合Bの濃度が等しいことを言うためには、ＡからＢへの写像が全単射であることを言わなくても、ＡからＢへの単射およびBからＡへの単射がともに存在すればＡとＢは濃度が等しいことを示せば良いという定理をベルンシュタインの定理と言う。
後は、順序同型や全順序集合についての話が少々。
第三章の「整列集合と選択公理」を読んだら、集合の章は終りで、位相の話に進めます。
しかし、無限集合にも段階があるんですね。無限も奥が深いです。
ブログネタ：もらって嬉しかったメール
参加中何かここのところ、物理よりも数学ばかりやっているアイランドです。加えて、数学サークル室でカタンばかりやっているんで、どんどん堕落の坂を下っている感じです。
図書館で借りた「集合と位相」（内田伏一）の第一章を読み終えました。
前半は高校の集合の話だから全然良く、まぁ、写像の話で全射や単射まではまだＯＫ。しかし、集合族の和集合や共通部分の話あたりからだんだん陰りが見え始めてきて、上極限集合や下極限集合のあたりでは既に全力で取り組んでいました。
lim supAやlim infＡなんて解析学でちょこっと見かけただけですから、理解するのに時間を食ってしまいました。
数学ばかりだけではなく、物理もやらないと。
今回は憲法のお話で、爆笑問題の太田さんが、｢憲法は思想が入っちゃいけない｣と言っていましたね。つまりは憲法には客観性があるべきだという意味だと思うんですが、客観って主観の集合なんじゃないですかね。
そう考えると、客観的なものなんて無いんじゃないかと思いました。まぁ、憲法の話とは全く関係無いんですけどね。
憲法の話を聞いていて思ったのは、ゴールが無いのじゃないかと感じました。
憲法の話に限らず、人文科学って何だか漠然としているなと感じます。あくまで個人的な感想です。僕としてはやっぱり、定量的に扱えることが出来る方がいいかな。
Institute for advanced study 日本だとプリンストン高等研究所と言われている研究所のサイトを見ていました。
中学生の時、アインシュタインやフォン・ノイマン、日本人でも朝永先生が滞在したということでとても憧れていた研究所です。今でも、ここで修業したいという夢は消えていません。
やっぱり、数理物理、素粒子論、超ひも理論の分野の研究が強いみたいです。そして、研究員の名簿には日本人の方の名前が何名か載っていましたので、そのうちの一人（素粒子専攻）の人のブログを読んでいました。どうやら東大の院を出てから、研究所の来たみたいです。
正直、大学二年生の時の日記を見てもとても進んでいたため、良い刺激になりました。
どうやら数学もきちんと勉強していたみたいですね。
何だか、この春休みはいろいろな刺激を受けることが多いです。大学に行って勉強している時よりも自由な時間の中で自分から積極的に動くことで色々な刺激を受け、モチベーションが上がったり、好きな勉強をしたりできます。
大学は勉強する場所というより、勉強するためのモチベーションを与えたり、学問への入口を指し示す場所なんですね。
高校生の方で僕のブログを読んでいる方もおられるようなので、一言申し上げますと、大学が何をしてくれるかではなく、大学で何をするかだと思います。自分をしっかりもって大学にいらしてください。
昨日？いや、今日は朝の４時くらいまで起きて、「多様体の基礎」を読んでいました。
途中で、分からないことが出てきたので、おそらく僕の周りで一番頭が良い親友にメールを送りました。真夜中なのに起きて勉強をしていたらしく、すぐ返事が返ってきました。
彼は某大学の物理学科に飛び級入学したキレ者ですが、どちらかというと数理物理学に興味を持っているらしく、数学の勉強量が半端ないです。
で、数学の勉強をどのようにしているのか聞いたのですが、公理系や定義が理論全体に対してどのような役割を果たしているかに力点を置き、理論全体の展開の仕方を大事にしているとのことです。
それを聞いて、物理学の勉強の仕方と似ているなと思いました。
僕自身、数理物理学の道に行くことはないと思いますが、大学の先生方に聞いたと ころ数学はできないよりは出来た方が良いと聞いたんで、数学の素養もなるべく身につけていこうと思います。
数学は愛人と言いましたが、だんだん本妻（物理）よりも気を使うことになってきています。
許せ、妻よ。
まずは準備の段階なんですが、開集合、閉集合の話が出てきました。
開集合は近傍の観点から定義されているのに対して、閉集合は点列の収束の観点から定義されているんですよね。
開集合の反対が閉集合という風に簡単に定義することは出来ないんですね。
「怠け数学者の記」（小平邦彦）を読みました。
先日読んだ「僕は算数しかできなかった」に比べると内容が豊富で面白かったです。
とりわけ、小平先生のプリンストン時代の話が非常に面白かったです。僕もプリンストンに憧れているんですが、あれほど自由に研究生活を過ごすことができ、知的刺激をびしびし受ける場所はそうそうないんじゃないでしょうか？
あと、小平先生の考え方で目を引いたのは、「数学的実在の上に物理的実在」があるという考え方です。
アインシュタインが一般相対性理論を考えるに当たり、リーマン幾何学を使用したり、量子力学でも状態を表すのにヒルベルト空間内のベクトルを当てはめることができるなど、物理現象を説明するにあたり、予め数学が用意されているって言っているんですよね。
素粒子の話でもそうで、観測の結果とらえられた素粒子というのも実際に触れたり見たりして認識するのではなく、数学的操作の結果として素粒子は認識されるという立場を取っています。
つまり小平先生は数学を自然現象の言語以上のものとして考えているわけです。
数学は、物理的実在ではなく公理を基にして論理という文法でなりたっているのに対して、物理は観測をもとにして理論を組み立てたり、あるいはある理論が正しいかとどうかを観測に任せることで、その正しさが証明される。
いや、そもそも「実在」って何だ？目の前に存在するものは本当に存在しているのか？
どんどん頭の中がぐちゃぐちゃになる。
何か、数学的実在が物理的実在に先立つのか？それとも逆なのかという問題はどっちでもいい気がしてきた。数学も物理も、実際に行うのは人間であり、どちらも知的ゲームの一種なのではないだろうか？そう考えると、楽しければいいやという気持ちになる。
この本を読んで、色々取りとめのないことを考えてしまったが、のだめが学園祭で千秋のラフマニノフ「ピアノ協奏曲第二番」を聞いたあとに、ピアノを弾きたいという衝動に駆られたかの如く、僕も数学を、そして物理学を勉強しなければという衝動にかられた次第である。
▼見ちゃった人は忙しくてもやってください。
※タイトルを「学校退学」「仕事クビ」を含むこと。地雷バトンです。
▼みたらすぐやるバトン←これ大事
※見た人必ずやること...今すぐやること。
ＨＮ：アイランド
職業：大学生
病気：怠け者
装備：勇者の心
性格：怠け者
口癖：なし
靴のサイズ：２７
兄弟：妹２人
好きなもの
［色］黒
［飲み物］紅茶 果汁１００％ジュース
［本］物理 物理学者や数学者の手記や伝記
［花］なし
［携帯は何？］docomo
［コンピューターから離れられる？]無理
［殴り合いのケンカしたことある？］一応、空手黒帯なんで殴ったら傷害罪です。
［犯罪犯したことある？］信号無視。
［お水/ホストに間違えられたことある？] なし
［ウソついたことある？］もちろん。
［誰かを愛したことある？]愛の定義を言ってください。
［友達とキスしたことある？］なし
［誰かの心をもて遊んだことある？］無いと思う。
［人を利用したことはある？］多々
［使われたことは？］多々
［髪染めてる？］なし
［髪の毛巻いてる？］全然。
［タトゥーしてる？］してない
［ピアスあけてる？］まさか。
［カンニングしたことある？］無し。そんなことするくらいならテスト受けません。
［お酒飲む？]飲みません
［ジェットコースター好き？］あまり・・
［どこかに引っ越しできたらな～と思う？］京都
［もっとピアスあけたい？］体に穴を開けたいとは思わない。
［掃除好き？]大嫌い。
［丸文字？どんな筆記？］筆記体。
［ウェブカメラ持ってる？］いえいえ。
［運転の仕方知ってる？］免許持っていないんで・・・
「何かを盗んだことある？］あの子の心を・・・
［拳銃手にした事ある？］まさかぁ。
［今着てる服］ハイネックとジャージ
［今の臭い］タコライス
［今のテイスト］まろやか
［今したいこと］旅に出たい。
［今の髪型］無造作。
［聴いてるCD]ラフマニノフ「ピアノ協奏曲第二番」
［１番最近読んだ本]「僕は算数しかできなかった」
［１番最近観た映画］デスノート
［昼ご飯］タコライス
［１番最後に電話で喋った人］母
［初恋覚えてる？］覚えてますよ
［まだ好き？]全然。
［新聞読む？］全く読まない。
［ゲイやレズの友達はいる？］いない。
［奇跡を信じる？］奇跡って、起こりうる確率が低い事象のことでしょ？確率が０でないのなら信じないと。
［成績いい？］専門科目は・・・
［帽子かぶる？\\]いやいや
［自己嫌悪する？］自分大好きよ。
［何かに依存してる？]親でしょ。
［何か集めてる？］夢のかけら
［身近に感じられる友達はいる？］いますよ
［親友はいる？］多分、僕が唯一誇れるのは親友がいるというこです。
［自分の字好き？］考えたこともない。