今日は朝から内田「集合と位相」を読んでいて、第二章 を読み終わりました。
集合Ａから集合Ｂへの全単射が存在するとき、ＡとＢは濃度が等しいという。で、自然数全体の集合Ｎと濃度の等しい集合を可算集合と呼ぶが、可算集合には偶数全体、奇数全体、整数全体、有理数全体の集合があるが、実数全体の集合Rに関しては可算集合と呼べない。このことをカントールが対角線論法を用いて証明しています。
さらに、集合A、集合Bの濃度が等しいことを言うためには、ＡからＢへの写像が全単射であることを言わなくても、ＡからＢへの単射およびBからＡへの単射がともに存在すればＡとＢは濃度が等しいことを示せば良いという定理をベルンシュタインの定理と言う。
後は、順序同型や全順序集合についての話が少々。
第三章の「整列集合と選択公理」を読んだら、集合の章は終りで、位相の話に進めます。
しかし、無限集合にも段階があるんですね。無限も奥が深いです。