多様体基礎2に続いて、ここではようやく、超曲面の座標表示を行い、それを用いて、基底ベクトルと計量の一般形を求めます。前のパートを長々と説明したのはこのパートのためだったのです。このパートの結果は、基底と計量を求めるだけではあるものの、かなり一般的な結果なので、任意のn次元ユークリッド
空間に埋め込まれたm次元超曲面(m≦n）に対して用いることができます。（パート３全８ページ）
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多様体基礎１に続いて、ここでは曲がった空間での距離とはなにか？について、大雑把なイメージを
主に言葉で説明します。これに続く多様体基礎3でようやく、座標を導入してこのパートで説明したこと
を式で表します。（パート２全５ページ）
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一般相対論では曲がった4次元時空多様体を扱います。しかしその基礎はまず、通常の曲がった空間
つまり通常の多様体の理解が必要です。多様体とは大雑把に言って局所的にユークリッド空間となる
曲面のようなものだと理解しています。ただし、一般相対論ではこれがミンコフスキー時空になるわけです。このシリーズでは、まず非相対論的な意味での多様体の基礎を書きます。
このパート１ではまず、高校で習った平面の内積の話から始まり、空間の２点間の距離を斜交基底の
内積で表すところまで学習します。
（パート１全８ページ）
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宇宙が膨張・収縮すると遠方の銀河からやってくる光は赤方偏移・青方偏移を起こします。ここでは
一様等方な空間を仮定するロバートソン・ウォーカー計量からこの赤方偏移について説明します。
（全4ページ）
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圧力とエネルギー密度を0とし、正の宇宙定数を持つフリードマン方程式の解であるド・ジッター解は、
その曲率kの値によってk = +1、k=0、k=-1の３つの解に分かれます。このように式の見かけは異なる
のですが、実は全て同一の時空を表すことがわかっています。ここではそのことの証明を行います。
なお、3つの解は時空をカバーする範囲がそれぞれ異なり、k=+1の場合のみ時空全体をカバーします。
（全8ページ）
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球対称の重力場は、例え動径方向に物質が膨張・収縮等をしていても、外部の真空な領域では必ず、
シュヴァルツシルト時空になり、したがって静的である、というのがバーコフの定理です.。
この定理により、重力収縮する天体の周りの時空がその天体の自転が無視できる場合、
静的なシュヴァルツシルト時空になるということがいえ、極めて重要な定理だと思っています。
ここでは、このバーコフの定理とシュヴァルツシルトの外部解を導きます。
証明をほとんど省略しないので、少々長めです。（全１８ページ。）
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アインシュタイン方程式の左辺を変分原理以外で決定します。ポイントは、
１．テンソルとしては計量とその微分たちだけからできていること
２．対称テンソルであること
３．計量の微分は最大で二階微分までしか含まないこと
４．計量の二階微分に関しては線形であること
によって決まるテンソルの形が、
５．∇νXμν＝０を満たすこと
によって、宇宙定数を除いて一意に定まることが示され、これがアインシュタイン方程式の
左辺になることの妥当性を示していることになります。
少し長いですが、変分原理で証明するのでなければ、結構重要な証明かと思います。
（全１１ページ）
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