物理をやっていると，時々多変数のテイラー展開が現れます．
ここではこの多変数のテイラー展開を簡単に求めてみました．
（全５ページ）
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拡大・縮小・保存自在のPDF版ソースファイルは，
PDF置き場：基礎数理物理学教程
http://mathphys.ifdef.jp/
に置いてあります．
場のオイラー・ラグランジュ方程式を導くときなどに，多重積分の部分積分公式が必要になります．
ここでは，通常のベクトル解析の記号法と，テンソル解析の記号両方でこれを証明しました．
（全２ページ）
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拡大・縮小・保存自在のＰＤＦ版ソースファイルは，
ＰＤＦ置き場：ＰＤＦ物理 http://pdfphysics.client.jp/
または，
ＰＤＦ置き場：基礎数理物理学教程 http://mathphys.ifdef.jp/
においてあります．
ローレンツ変換は特殊相対論における主要な結果です．
これだけでも時間の遅れや，空間の収縮などの現象が説明できます．
ここでは，中学レベルの数学のみ用いて，このローレンツ変換を導きます．（全６ページ）
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拡大・縮小・保存自在のPDF版ソースファイルは，
PDF置き場：PDF物理
の<簡単相対論>-<中学数学で分かる簡単なローレンツ変換の証明>
に置いてあります．
正弦関数を角度の一次式で評価するときに便利な不等式を証明します．
高校数学のみで証明します（全ページ１ページ）．
簡単な英語の勉強も兼ねてFrom a distanceを直訳してみました．
ベット・ミドラーの1990の曲です．
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From a distance
遠くから眺めれば
遠くから眺めれば，
世界はブルーとグリーンに見える．
そして，雪を被った山々は白い．
遠くから眺めれば，海は小川と出会い，
そして，ワシは飛び立とうとしている．
遠くから眺めれば，
ハーモニーがある．
そして，それは国中に響き渡る．
それは希望の声，それは平和の声，
それはすべての人々の声．
遠くから眺めれば，
私たちはみな満ち足りていて，
そして誰も何も必要としてはいない．
そして銃も爆弾も病気もなく，
食事を与える必要のある飢えた口もない．
遠くから眺めれば，私たちは楽器．
同じ国を行進している．
希望の歌を奏で，平和の歌を奏で，
それらは全ての人々の歌．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
遠くから眺めれば，
君は僕の友達のように見える，
僕たちは争っているにもかかわらず．
遠くから眺めれば，僕にはさっぱりわからない，
この争いは何のためにしているのか．
遠くから眺めれば，
ハーモニーがある，
そして，それは国中に響き渡る．
そしてそれは希望への希望，愛への愛，
それはすべての人々の心．
それは希望への希望，愛への愛，
これこそがすべての人々のための歌．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
ああ，神様は私たちを見守って下さっている．
神様は見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
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なんだかとっても，ハッピーになれる曲ですよね～～♪(＝⌒▽⌒＝)
ベット・ミドラーの1990の曲です．
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From a distance
遠くから眺めれば
遠くから眺めれば，
世界はブルーとグリーンに見える．
そして，雪を被った山々は白い．
遠くから眺めれば，海は小川と出会い，
そして，ワシは飛び立とうとしている．
遠くから眺めれば，
ハーモニーがある．
そして，それは国中に響き渡る．
それは希望の声，それは平和の声，
それはすべての人々の声．
遠くから眺めれば，
私たちはみな満ち足りていて，
そして誰も何も必要としてはいない．
そして銃も爆弾も病気もなく，
食事を与える必要のある飢えた口もない．
遠くから眺めれば，私たちは楽器．
同じ国を行進している．
希望の歌を奏で，平和の歌を奏で，
それらは全ての人々の歌．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
遠くから眺めれば，
君は僕の友達のように見える，
僕たちは争っているにもかかわらず．
遠くから眺めれば，僕にはさっぱりわからない，
この争いは何のためにしているのか．
遠くから眺めれば，
ハーモニーがある，
そして，それは国中に響き渡る．
そしてそれは希望への希望，愛への愛，
それはすべての人々の心．
それは希望への希望，愛への愛，
これこそがすべての人々のための歌．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
ああ，神様は私たちを見守って下さっている．
神様は見守って下さっている．
神様は私たちを見守って下さっている，遠くから．
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なんだかとっても，ハッピーになれる曲ですよね～～♪(＝⌒▽⌒＝)
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表題の通り、簡単すぎるぐらいの内容ですが、言葉の定義をしておくことも良いと考え、
書きました。（全2ページ）
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拡大・縮小・保存自在のPDF版ソースファイルは、
PDF置き場：PDF物理
に置いてあります。
相対論で現れる、代表的なテンソル量をまとめた表を作りました。
これを見ると、座標の微分関係と、時空の曲率に関係するテンソルが多いことがわかります。
（全2ページ）
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表題の通り、一般相対論で扱う4次元時空多様体と、数学の微分幾何で習う、多様体を、
違いが分かりやすいように特に4次元に限定して、比較する表を作ってみました。
なお、ウィキペディアによれば、多様体とは局所的にユークリッド空間になる空間、
との記述があり、僕の言葉の使い方も、ほぼこの意味通りと理解してくださって、
差し支えありません。ただし、4次元時空多様体は正確には局所的にミンコフスキー時空
になっているものというふうに、多様体の定義をユークリッド空間→ミンコフスキー空間
に置き換えて使ってください。（全1ページ）
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多様体基礎3では、任意の曲面の基底ベクトルと計量を求めました。これを用いて、
直感的には明らかである、円筒の表面が実は平面と同じであるということを計算で示します。
直感的にといったのは円筒の表面に曲線を描けば、その曲線の長さは円筒を開いても
同じ長さに違いないですが、ということは広げた円筒の2点を直線で結べば、それは
円筒にしても最短距離、つまり測地線になるはずだということです。ここではこのことを
微小距離について示します。有限の長さの２点間の距離については、変分原理などにより
最短の曲線を導かねばなりません。（パート４全３ページ）
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