物理をやっていると,時々多変数のテイラー展開が現れます.
ここではこの多変数のテイラー展開を簡単に求めてみました.
文字が小さくて読めないですか?
拡大・縮小・保存自在のPDF版ソースファイルは,
PDF置き場:基礎数理物理学教程
http://mathphys.ifdef.jp/
に置いてあります.
物理をやっていると,時々多変数のテイラー展開が現れます.
ここではこの多変数のテイラー展開を簡単に求めてみました.
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場のオイラー・ラグランジュ方程式を導くときなどに,多重積分の部分積分公式が必要になります.
ここでは,通常のベクトル解析の記号法と,テンソル解析の記号両方でこれを証明しました.
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ローレンツ変換は特殊相対論における主要な結果です.
これだけでも時間の遅れや,空間の収縮などの現象が説明できます.
ここでは,中学レベルの数学のみ用いて,このローレンツ変換を導きます.(全6ページ)
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の<簡単相対論>-<中学数学で分かる簡単なローレンツ変換の証明>
に置いてあります.
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表題の通り、簡単すぎるぐらいの内容ですが、言葉の定義をしておくことも良いと考え、
書きました。(全2ページ)
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相対論で現れる、代表的なテンソル量をまとめた表を作りました。
これを見ると、座標の微分関係と、時空の曲率に関係するテンソルが多いことがわかります。
(全2ページ)
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表題の通り、一般相対論で扱う4次元時空多様体と、数学の微分幾何で習う、多様体を、
違いが分かりやすいように特に4次元に限定して、比較する表を作ってみました。
なお、ウィキペディアによれば、多様体とは局所的にユークリッド空間になる空間、
との記述があり、僕の言葉の使い方も、ほぼこの意味通りと理解してくださって、
差し支えありません。ただし、4次元時空多様体は正確には局所的にミンコフスキー時空
になっているものというふうに、多様体の定義をユークリッド空間→ミンコフスキー空間
に置き換えて使ってください。(全1ページ)
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多様体基礎3では、任意の曲面の基底ベクトルと計量を求めました。これを用いて、
直感的には明らかである、円筒の表面が実は平面と同じであるということを計算で示します。
直感的にといったのは円筒の表面に曲線を描けば、その曲線の長さは円筒を開いても
同じ長さに違いないですが、ということは広げた円筒の2点を直線で結べば、それは
円筒にしても最短距離、つまり測地線になるはずだということです。ここではこのことを
微小距離について示します。有限の長さの2点間の距離については、変分原理などにより
最短の曲線を導かねばなりません。(パート4全3ページ)
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