多様体基礎4~円筒の表面の計量が平面の計量と一致することの証明~ | 竜太のブログ

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一般相対論中心のブログですが、最近は量子論についても書き始めました。
全体的に数学的厳密さを重視して書いているつもりです。

多様体基礎3では、任意の曲面の基底ベクトルと計量を求めました。これを用いて、

直感的には明らかである、円筒の表面が実は平面と同じであるということを計算で示します。

直感的にといったのは円筒の表面に曲線を描けば、その曲線の長さは円筒を開いても

同じ長さに違いないですが、ということは広げた円筒の2点を直線で結べば、それは

円筒にしても最短距離、つまり測地線になるはずだということです。ここではこのことを

微小距離について示します。有限の長さの2点間の距離については、変分原理などにより

最短の曲線を導かねばなりません。(パート4全3ページ)


円筒の例1

円筒の例2

円筒の例3
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