カタラン数 posted from フォト蔵
「凸（ｎ＋２）角形の中に，互いに交わらない対角線を（ｎ－１）本引いて，多角形の辺と合わせてｎ個の三角形に分割する方法はいく通りか？」
- 志賀 浩二
- 中高一貫数学コース 数学5をたのしむ
Ｐ１０７に出ている問題です。
この本に書いてあるとおりに私も調べてみました。ｎに具体的な数をあてはめて，図をかいて確かめていきました。
ｎ＝１のときは，ｎ＋２＝１＋２＝３なので３角形になり，ｎ－１＝１－１＝０で，１本も対角線は引けません。この場合は１個の三角形ということになります。
ｎ＝２のときは，４角形となり，１本の対角線で２個の三角形に分割する方法は，対角線を右下がりに引くか，右上がりに引くかの２通りあります。
ｎ＝３のときは，５角形となり，２本の対角線で３個の三角形に分割する仕方を考えると，５個の頂点から順次，対角線を２本ずつ引いていくことになるので，５通りということになります。
ｎ＝４のときは，６角形となり，３本の対角線で４個の三角形に分割する方法を考えます。もうすでに図を描いて調べていくのが大変になってきました。写真のように３つのタイプに分けて調べることにより，１４通り（＝６＋６＋２）あることが分かります。
もうこれ以上図をかいて調べていく根気が続きませんので，図は省略させていただきます。
ｎ＝５の場合は，７角形になり，４２通りの分割方法になり，ｎ＝１５の１７角形になると，9694845（＝約１０００千万）通りもの分割方法になるそうです。とても図をかいて調べる気にはなりません。
このような凸（ｎ＋２）角形を三角形に分割する方法を表す数を『カタラン数』というのだそうです。カタランはベルギーの数学者の名前です。
ｎ番目の「カタラン数」がいくつになるかを算出する式があり，パスカルの三角形に現れる数とも関係があるそうです。結果だけ記しておきます。
ｎ番目の「カタラン数」＝｛１／（ｎ＋１）｝×｛（２ｎ）！／（ｎ！×ｎ！）｝
「カタラン数」がいろいろなところに現れてくるという例が前の本に載っているので，興味を持たれた方は，読んでみて下さい。
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