パスカルの三角形に円周率が隠れている！？
パスカルの三角形。いろいろと記事に書いた。『パスカルの三角形による係数の計算』予告通り、パスカルの三角形のことを書きます。百聞は一見にしかず。どんなものか見てみましょう。三角形という名前から、なんらかの幾何的な図形を想像したかたもいる…ameblo.jp『パスカルの三角形とフラクタルの意外な関係』パスカルの三角形といえば、初等代数学の二項定理、二項展開で、(x±y)nを展開した際の各項の係数を簡単に求める方法として有名だったり、フィボナッチ数列が隠れ…ameblo.jp必要であれば、参照されたし。パスカルの三角形に円周率が隠れているとうタレコミがあったので調べてみる。3.1415926535…どこにも見当たらないですよね。隠れているのは4列目の、1、4、10、20、35、56、84、120、165、220、…のところ。このままじゃ解らない。隠れ方が絶妙なので、どう円周率なのかって話だ。この列の全部じゃなくて、4、20、56、120、220、364、560、816、1140、1540、…と一つ飛ばしに使う。更に、このまま使うのではなくて、逆数にして、正負を変えながら足したものを、2/3倍して、3を加える。 3＋ 2 3 × ⎛ ⎝ 1 4 － 1 20 ＋ 1 55 － 1 120 ＋ 1 220 － 1 364 ＋ 1 560 － 1 816 ＋ 1 1140 － 1 1540 ＋… ⎞ ⎠ こんな式になる。手計算で求めてもたかが知れているので、多倍長電卓LMでプログラミングしてみる。a=1, b=2, c=1, s=0, f=1, n=0, m=1;while ( 1 ) { n++; a += b; b++; c += a; s += f/c; f *= -1; if ( n == m ) { printf("%10d: %.100f\n",n,3+2*s/3); m *= 10; } a += b; b++; c += a;}10行にも満たないコードだ。一般的なプログラミングではやってはいけないことをやっている。無限ループだが、強制的に止められるので、とりあえずはこれで良しとする。出力はこんな感じ。 1: 3.1666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667 10: 3.1414067184965017782355243655553253076472890714376782488237596596729723664708184832023841311767008361 100: 3.1415924109719806742625888602167264372936509067453766956731949073965544105885643120777583551305994845 1000: 3.1415926533405420519001287362532035671525392553179548746743048595044261726185587022186950711376057390 10000: 3.1415926535895433134507693207779502215449257421397106340098044892901998809794643840934718512363635358 100000: 3.1415926535897929884701432645304403840410178304727720367463323034727115379600736640968189772240370830 1000000: 3.1415926535897932382126441332783153851346693837510901895726018384499052744720715818809998732302403306 10000000: 3.1415926535897932384623933833545028723221703368751042584847883359054727558960673873009087826941922733100000000: 3.14159265358979323846264313327951038419705064937604332097478834240625389988386525858897715922883681701000000000: 3.1415926535897932384626433830295028849471693981876058219124445922921914072705839922256910763382108663コロンの左がループ回数、右が先の計算結果となる。産医師異国に向こう産後厄無く産婦宮代に虫散々闇…収束は遅いが、着々と円周率に近づいていることが解る。誰が見つけたか知らないけれど、なんかすごいよね。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
