長方形と内部の45度
図形問題を出題するよ。図のように長方形があり、下の2つの頂点から上辺への角が45˚のとき、?の長さを求めよ。中学受験を考えている小学生以上向けです。シンキングタ～イムこの問題、お友達から頂いた問題で、小学生にも理解出来るように解いて欲しいとのことでした。私の考えた解法は、上のように長方形の下に、辺の長さが解っているブルーの直角三角形を描いて、図のように45˚・45˚・90˚の直角二等辺三角形（定規の一つと同じ形）を作ること。すると、上底15cm、下底35cm、高さ35＋15＝50cmの台形が見え、面積は(15＋35)×50÷2＝1250cm2ここから、2つのブルーの直角三角形の面積を引く。1250－2×(35×15÷2)＝1250－525＝725cm2と、直角二等辺三角形の面積が求まる。更にここからグリーンの三角形の面積を引くのだが、グリーンと黄色の三角形が共有している辺を底辺とみると、それぞれ高さが15cm、35cmと解るので、725×35÷(35＋15)＝507.5cm2と黄色い三角形の面積が求まる。元の長方形の面積は、黄色い三角形の面積の2倍である。507.5×2＝1015cm2高さは35cmなので、幅は、1015÷35＝29cm?は、29－15＝14cm答え 14cmと求まるのだ。この解法も悪くはない。悪くはないのだが、いかんせん時間が掛かり過ぎている。どうやら進学塾では、もっと簡単に求める方法が紹介されているようだ。和と差の比を使うらしい。35＋15：35－15＝35：?50：20＝5：2＝35：?外項の積と内項の積は等しいので、5×?＝2×35?＝2×35÷5＝14答え 14こんな方法を教えているらしいのだが、確かに求まるといえば求まる。先の解法に比べると、圧倒的に計算量は少ないし、特段発想力も必要ない。示されている長さを変数にしてみると、a＋b：a－b＝a：xa(a－b)＝x(a＋b)x＝a(a－b)/(a＋b)これは45˚だから、高校生以上であれば三角関数を使って、x＝a×tan(45˚－arctan(b/a))＝a×(a－b)/(a＋b)と示せるが、小学生には無謀な話に見えてしまう。中学受験ってのは、恐ろしい世界なのだなと痛感した。ではではa img { background-color: lightgray;}table.renbun td { border: 0px; padding: 2px 2px 2px 2px; vertical-align: middle; white-space: nowrap; }table.renbun td.ul { border-style: solid; border-width: 0px 0px 1px 0px; }table.renbun td.ol { border-style: solid; border-width: 1px 0px 0px 0px; }table.ans td:nth-child(1) { text-align: center; }table.ans td div { width: 265px; overflow-x: scroll; }table.ans td div span { white-space: nowrap; }table.test td {white-space: nowrap;padding: 0 5px;text-align: right;} .u {border-bottom-style: solid;border-bottom-width: 1px;text-align: center;}table#list td { padding: 0 2px; font-family: monospace; }.no { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.ni { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%;}.ns { font-family:serif; font-size:250%; line-height:100%;}.io { display:inline-block; white-space:nowrap;}.io sub { vertical-align:bottom; white-space:nowrap;}.io sup { vertical-align:top; white-space:nowrap;}.ii { display:inline-block; vertical-align:middle;}.is { vertical-align:middle; font-family:arial;// font-family: sans-serif; font-size:300%; line-height:70%; font-weight: 5;// margin: 0 -15px 0 -10px;}.ii2{ display:inline-block; line-height:100%; vertical-align:middle;}.is2{ line-height:155%;// line-height:109%; font-family:sans-serif;}.mo { display:inline-block; vertical-align:middle;}.mi { display:inline-block; white-space:nowrap; vertical-align:middle; line-height:100%;}html:not([lang]) .mp { display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:sans-serif; margin: 0; padding: 0;}.mp{ display:inline-block; line-height:100%; font-size:120%; font-family:serif; margin: 0; padding: 0;}.md{ display:inline-block; line-height:120%; text-align:right; margin: 0 5px;}.lo { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle;}.li { display:inline-block; text-align:center; vertical-align:middle; line-height:100%; margin: 0 5px 0 0;}.ls { font-family:serif; font-size:120%; line-height:100%;}.fb {border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;margin:1px 0;}.fo {display:inline-block;text-align:center;vertical-align:middle;white-space: nowrap;}.fo span {margin: 0 3px;}.fo span span {margin: 0 0;}.article table {white-space: nowrap;}.ro{display:inline-block;white-space:nowrap;line-height:100%;position:static;}.rt{font-family: 'Meiryo', 'YuGothic', 'Gothic', sans-serif;}.ri{display:inherit;border-style:solid;border-width:1px 0 0 0;padding:0 1px 0 1px;margin:1px 0 0 0;position:relative; left:-1.5px;}article table {margin-bottom: 0 !important;}article table td {white-space: nowrap;text-align: center;}
