図形問題を出題するよ。
図のようにピンクの正方形の上に、3つのブルーの正方形が重なるように配置されている。
ブルーの領域の面積：ピンクの領域の面積
を求めよ。
中学生以上を想定しています。
シンキングタ～イム
まずはどこから手をつけていきましょうかね。
黄色で示した2つの直角三角形が合同であることは問題ないですよね。
黄色い直角三角形の赤で示した短辺は当然等しいので、
これを踏まえて、黄色い直角三角形と緑の直角三角形の相似比を求めたい。
ブルーの正方形の1辺の長さを1とし、赤線の長さをxとすると、
1：x＝x：1－x
となり、
x2＝1－x
x2＋x－1＝0
| x＝ |
√5－1
2 |
ピンクの正方形の1辺の長さを求めるには、
√12＋(x＋1)2
が必要なので、
| x＋1＝ |
√5＋1
2 |
| (x＋1)2＝ |
(√5＋1)2
4 |
＝ |
6＋2√5
4 |
＝ |
3＋√5
2 |
| 12＋(x＋1)2＝ |
5＋√5
2 |
これが、見えていない部分も含めたピンクの正方形の面積ということでもあります。
ピンクの正方形の1辺の長さは、面積の平方を取って、
| √12＋(x＋1)2＝ |
√5＋√5
√2 |
＝ |
√10＋2√5
2 |
さて、もう少し補助線を引いて簡単に考えてみると、
この赤線を斜辺とする台形の面積とも取れますよね。
また、新たな直角三角形が出来て、ピンクの正方形から引くというのも有りだろう。
新たな直角三角形の長辺はピンクの正方形の1辺と等しいので、短辺はというと、
先の黄色い直角三角形の斜辺であるので、
√12＋x2＝√1＋(1－x)＝√2－x
を求めると、
| 2－x＝ |
5－√5
2 |
| √2－x＝ |
√5－√5
√2 |
＝ |
√10－2√5
2 |
取り除く直角三角形の面積は、共役の掛け算なので簡単になり、
|
√10＋2√5
2 |
× |
√10－2√5
2 |
÷2＝ |
√100－20
8 |
＝ |
√80
8 |
＝ |
4√5
8 |
＝ |
√5
2 |
ピンクの面積は、
|
5＋√5
2 |
－ |
√5
2 |
＝ |
5
2 |
ブルーの総面積は3なので、
答え 6：5
なんか、計算をゴリゴリやってしまったが、
もっと簡潔に求まりそうだなと思った問題である。
面積比が整数比となっているので、切り貼りして、図形だけでも行けるのかもしれないが、とりあえずこれで納得したので良しとする。
ではでは