図形問題を出題するよ。
図のように半径rの半円がある。
半径rを求めよ。
高校生以上向けです。
シンキングタ～イム
補助線を引く前に、とある定理で長さが即答出来るところがありますよね。
方べきの定理ですね。
(PA)2＝PQ×PR
62＝4×PR
PR＝36÷4＝9
よって、
QR＝QS＝9－4＝5
これを踏まえて、補助線を考えると、
(PQ)2＋(QS)2＝(PS)2
42＋52＝16＋25＝41
(PS)2－(PA)2＝(AS)2
41－62＝41－36＝5
AS＝√5
あとは、SOないし、SBが求まれば、半径rが求まります。
このように補助線を引くと、∠AQBは直径ABの円周角となり直角であることが解ります。
すると、
∠PQA＝∠SQB
ということになり、
四角形PASQに着目すると、
∠PAS＝∠SQP＝90˚より、
残りの対角の和も90˚となり、
∠QAP＝∠QSB
ということになり、
三角形QPAと三角形QSBは相似であることが確定します。
QP：QS＝4：5
より、
| SB＝6÷4×5＝ |
15
2 |
| r＝ |
15＋2√5
4 |
と求まります。
なかなかおもしろい問題でした。
補助線の鉄則って言われているものがいくつかあるかと思うが、
今回の問題では、そういった鉄則系が無かったように思う。
例えば、QR＝5が解ったとして、
鉄則とされるような、半円を真円にしてみるとか、
中心と円周上の点を結ぶとか、
どうですか？
半径rとされるところが赤線で示されています。
青線も、半径をrとして、三平方の定理で求めることが出来る。
仮に、∠QOR＝θとおいて、
∠QOT＝π－θだから、
cos(π－θ)＝－cos(θ)なので相殺出来そうで、
余弦定理で2つの式が作れるから、
変数2つで式も2つ出来て、
解けるんじゃなかろうか。
なんて考えてしまうかもしれません。
やってみましょうか。
52＝r2＋r2－2r2cos(θ) ⋯ (1)
4r2－52＝r2＋r2＋2r2cos(θ) ⋯ (2)
(1)＋(2)で左辺の52も符号が異なるので相殺され、右辺のcos(θ)の項が相殺されて、右辺のて、4r2＝4r2と、すべてが相殺されてしまう。
かといって、(1)－(2)も意味をなさないだろう。
同じ図形に対して、同じ系統の方法で示してしまうと、こういったことになってしまうということの典型です。
三平方の定理も余弦定理も出どころが同じ定理であり、なおかつ同じ図形に対して使ってしまうと、意味をなさないということなんです。
なので、図において別のところとの関係性から持ってくるとか、
同じところでも違う出どころの定理などを使わないとならないということになります。
三角関数でいうと、正弦定理、余弦定理などと同じ系統のようにまとめて習うかもしれませんが、この2つは出どころが違うので系統が違うのです。
さて、皆さんはどのように解かれたでしょうか。
ではでは