東大2013年第4問その4です。
図形の絡む問題で迷うのが解き方の選択肢が広いことにあります。しかもどれか一つではなく複数を絡めて解くのもしばしばで、ここは教えるのが一番難しい。というか、結局のところ自分でも脳内のどのタイミングで切り替えているのかあんまりわかりません。こればっかりはブログでは伝わらないと思いますが、今回はその禁断にチャレンジしてみます。今回は完全に数学の基本仕上がっていて半歩上を目指す人対象の記事です。
ここでは
図形的アプローチは幾何、三角比をベースにした解法
ベクトルアプローチはベクトルを利用した解法
座標アプローチは数2の座標を利用した解法
とします。
各アプローチの特徴は
図形アプローチ
長さと角度に強い。幾何的にゴールがみえると計算が圧倒的に楽になることが多い。が、幾何は答えをどこまでちゃんと書くべきか迷いやすいのが欠点。最低限重要なことを書いて、採点官の良心を信じないといけないところがある。三角比は幾何だけでできないことをサポートする役割。
座標アプローチ
処理は大変だが機械的にやれる。斜め方向はベクトルに比べ圧倒的に弱い。座標がおければ考えるが、空間はすぐにベクトルに主役を奪われる。ただ、新課程になり平面の式が扱えるようになり、活躍の機会が今後増えてくると思われる。
ベクトルアプローチ
空間では最強。平面でも機械的処理ができる。図形アプローチと座標アプローチの中間をつなぐ役割。
かな＿？言葉にしてみても芯食ってる感じがあまりしません。僕の脳内の基本の集大成のイメージなんですが。。。
まず空間図形に関しては
切断面など状況を判断するときは図形的にアプローチします。特にどこが垂直かは数学Aの図形で判断している気がします。
対称性があり、各点の座標がシンプルになりそうであれば座標の定義を考えます。90°とかに着目して座標軸を考えたりします。
で、その後ベクトルで処理することが多いように思います。
全体的な印象はベクトル>図形>座標という感じでしょうか？
平面はもっと複雑で、今回またまた東大2013-4を例にして具体的に述べるにとどめます。
問題は明らかにベクトルアプローチですが、それぞれ単位ベクトルであることと直角三角形が与えられていることから、第一感は図形アプローチでいくことでした。それで目処がつきましたが(2)で図形アプローチだけで厳しそうだったのでベクトルアプローチに切り替えて解きました。その際式の形から図形の三角比アプローチに戻して解ききります。
その後、図形の幾何的アプローチに気づきこれに気づいていれば頭から図形アプローチだけで解くべきだったかな？と思い直しました。その後さらに検証すると、図形アプローチの中心と直角三角形の90°に着目すると、座標を設定すれば中心間距離を求めることに気づき、そこだけ座標アプローチの力を借りて図形アプローチに戻りました。多分座標アプローチでPの座標を2円の交点から求めることも可能だと思います。
といったところです。文字で書くとわけわかんなくなりますね。まあこれくらい複雑に絡み合ってるということが伝われば十分かなと思います。ここをクリアするためには結局一つ一つのアプローチの特色と基本をしっかり演習し、応用問題をやるときに常にこの3つのアプローチを考えて解くことに尽きると思います。
↓応用例です。
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