以前の記事の続きです。
今年出されたフィボナッチ数列の問題です。
その1（大宮開成2024）
数学の面白い規則性の1つにフィボナッチ数列というものがあります。フィボナッチ数列とは、直前の2つの数字を足した数字の列であり、以下のような数字の列です。
1、1、2、3、5、8、13、21、…
この数字の列について、次の各問いに答えなさい。
⑴ 14番目の数字はいくつですか。
1番目の数を①、2番目の数を②のように書くと、いま⑦が13、⑧が21とわかっているから続きをしらべると
- ⑨13+21＝34
- ⑩21+34＝55
- ⑪34+55＝89
- ⑫55+89＝144
- ⑬89+144＝233
よって14番目の数字⑭は144+233＝377
⑵ 2024番目までの数字の中で、8で割り切れる数字は全部で何個ですか。
小問⑴で求めたフィボナッチ数列
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377
から8で割ったあまりだけ書き出すと
1、1、2、3、5、0、5、5、2、7、1、0、1、1
とこれもフィボナッチ数列になっている。
そして⑬が1、⑭が1と最初にもどっており
- 周期12で同じ並びをくり返す
- さらに0については周期6であらわれる
ことがわかる。
よって2024÷6＝337あまり2より337個
その2（大妻2024）
直前の2つの数の和が次の数になるという規則で数を並べます。例えば、1と1から始めると、1、1、2、3、5、…となります。
⑴ 4番目の数が19で、6番目の数が50のとき、1番目の数はいくつですか。
1番目の数を①、2番目の数を②のように書くと
- ④は19、⑥は50より⑤＝⑥－④＝31
- すると③＝⑤－④＝31－19＝12、②＝④－③＝19－12＝7
よって1番目の数①は③－②＝12－7＝5
⑵ 5番目の数が18で、9番目の数が123のとき、7番目の数はいくつですか。
⒈ ⑤が18、⑨が123より⑨+⑤＝141…ア
⒉ ⑨＝⑦+⑧、⑤＝⑦－⑥、⑧－⑥＝⑦より
⑨+⑤＝(⑦+⑧)+(⑦－⑥)＝⑦+⑦+(⑧－⑥)＝⑦+⑦+⑦…イ
よってア＝イより⑦×3＝141だから⑦＝47
その3（三田国際2024）
1番目の数と2番目の数を足したものを3番目の数とし、2番目の数と3番目の数を足したものを4番目の数とします。このような作業をくり返して数の並びを作ります。
1番目の数と2番目の数をそれぞれ1とすると、数の並びは1、1、2、3、5、…となります。この数の並びについて、次の問いに答えなさい。
⑴ 10番目の数を求めなさい。
1番目の数を①、2番目の数を②のように書くと、④が3、⑤が5とわかっているのでその続きをしらべると
- ⑥3＋5＝8
- ⑦5+8＝13
- ⑧8+13＝21
- ⑨13+21＝34
よって10番目の数⑩は21+34＝55
⑵ 30番目の数は、32番目の数から31番目の数を引いた数です。1番目から30番目までの数の和を求めなさい。ただし、32番目の数は2178309です。
「30番目の数は、32番目の数から31番目の数を引いた数」をヒントに式で書いていくと
- ㉜－㉛＝㉚
- ㉛－㉚＝㉙
- ㉚－㉙＝㉘
- ④－③＝②
- ③－②＝①
これらをぜんぶ足すと
- 右辺は①から㉚までの和となる
- 左辺は（キセル算と同じように真ん中の部分がちょうど消えていって）㉜－②だけ残る
よって1番目から30番目までの数の和は
㉜－②＝2178309－1＝2178308
⑶ 並んでいる数をそれぞれ4で割った余りを並べ、新たな数の並びをつくります。その数の並びの1番目から2024番目までの数の和を求めなさい。また、どのように考えたかもあわせて答えなさい。
小問⑴で求めたフィボナッチ数列
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55
から4で割ったあまりだけ書き出すと
1、1、2、3、1、0、1、1、2、3
とこれもフィボナッチ数列になっている。
そして⑦が1、⑧が1と最初にもどっており「1→1→2→3→1→0」という並びを周期6でくり返すことがわかる。
このとき1つの周期の和は8（＝1+1+2+3+1）だから、2024÷6＝337あまり2より
- 1～2022番目（337周期）の和が8×337＝2696
- 2023番目が1、2024番目も1で和は2
よって1～2024番目までの数の和は2698 
