以前の記事の続きです。
坂道問題の第3弾です。
坂道を使った問題には2つのタイプがあるので注意が必要です。
典型的な坂道問題（白百合2023）
百合子さんは、右の図のような登山コースを2日間かけて往復することにしました。1日目は、A地点を午前8時に出発し、山頂で8分間休憩をとった後にB地点に向かったところ、正午ちょうどにB地点に到着しました。
2日目は、午前8時にB地点を出発し、山頂で24分間休憩をとった後にA地点に向かったところ、正午ちょうどにA地点に到着しました。
百合子さんは2日間とも、上りは時速2.7km、下りは時速4.5kmで歩いたとき、次の問いに答えなさい。
⑴ A地点から山頂までの道のりは、B地点から山頂までの道のりよりどれだけ長いですか。
情報を整理すると
- 1日目は「A地点を午前8時に出発し…正午ちょうどにB地点に到着」したから「山頂で8分間休憩」したのを引くと3時間52分かかった
- 2日目は「午前8時にB地点を出発し…正午ちょうどにA地点に到着」したから「山頂で24分間休憩」したのを引くと3時間36分かかった
- この時間差16分は（山頂をPとしてPB＝PQとなるような点QをAP上にとったとき）下図のAQ間の距離(
)を上るときと下るときにかかった時間の差
そこで
を進むのにかかった時間を考えると
- 「上りは時速2.7km、下りは時速4.5km」で歩いたから速さの比は上り：下り＝2.7：4.5＝3：5
- とするとかかる時間の比は速さの逆比だから上り：下り＝⑤分：③分。この差②が16分だから①＝8分。つまりの上りに8×5＝40分、下りに8×3＝24分かかった
よっての道のりは上り40分（⅔時間）の道のりだから
時速2.7km×⅔時間＝1.8km
⑵ A地点からB地点までの道のりを求めなさい。
まずをのぞいた道のり（QP+PB）を考えると
- 「上りは時速2.7km、下りは時速4.5km」で歩いたとき平均の速さは（和分の積×2より） 2.7×4.5÷(2.7+4.5)×2＝時速²⁷⁄₈km
- この速さで 3時間52分－40分＝3時間12分（¹⁶⁄₅時間）歩いた
- したがってその道のりは ²⁷⁄₈×¹⁶⁄₅＝⁵⁴⁄₅＝10.8km
よってA地点からB地点までの道のりは
1.8+10.8＝12.6km
そのまま坂道の問題（桜美林2023午後）
下の図のように、A地点からC地点までは上り坂、C地点からB地点までは下り坂になっているハイキングコースがあります。このコースの道のりの比はAC：CB＝8：3です。桜さんはA地点から、林さんはB地点から出発し、AB間を往復します。2人が同時に出発してから33分後に、AC間の途中にあるS地点で初めて出会い、それから▢分後にC地点で再び出会いました。桜さんの歩く速さは、上り下りで異なり、上りはAC間、BC間ともに時速4km、林さんの歩く速さは、上り下りともに時速6kmとします。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ CS間の道のりは何kmですか。
「桜さんの歩く速さは…上りは…時速4km、林さんの歩く速さは…上り下りともに時速6km」で「2人が同時に出発してから33分後に、AC間の途中にあるS地点で初めて出会」ったから
- AB間の道のりは (4+6)×33÷60＝5.5km
- とすると「道のりの比はAC：CB=8：3」なのでAC間の道のりは 5.5×8÷11＝4km
- このうちAS間は桜さん（上り時速4km）が33分で歩く道のりだから 4×33÷60＝2.2km
よって CS間の道のりは
AC－AS＝4－2.2＝1.8㎞
⑵ ▢にあてはまる数はいくつですか。
「2人が同時に出発してから33分後に、AC間の途中にあるS地点で初めて出会い、それから▢分後にC地点で再び出会いました。」の▢を求めるにあたり、ここまででわかったことは
AS=2.2km、CS＝1.8km、BC＝1.5km（＝5.5－4）
とすると
- S地点で桜さんと出会ったあとに林さんが歩いた道のりは SA+AC＝2.2+4＝6.2km
- この道のりを林さんは「上り下りともに時速6km」で歩いた
よって 6.2÷6×60＝62分 より ▢＝62
⑶ 桜さんのCB間の下りの速さは時速何kmですか。
S地点で林さんと出会ったあとに桜さんは62分かけて S→C（1.8km）、C→B（1.5km）、B→C（1.5km）と歩いた
- このうちS→CとB→Cは上りだから時速4kmで歩いた。その道のりはあわせて1.8+1.5＝3.3kmだからこれにかかった時間は 3.3÷4×60＝49.5分
- とすると桜さんはC→Bの下りに12.5分かかった（＝62－49.5）
よってBC間の道のりは1.5kmだから
1.5÷12.5×60＝時速7.2㎞ 
