以前の記事の続きです。
こちらも点の移動の今年の出題例になります。
下の図のような、AB＝AC＝10cm、BC＝12cmの二等辺三角形ABCがあります。はじめに点Pは点Bの位置に、点Qと点Rは点Cの位置にあり、3点P、Q、Rは同時に移動を開始し、点Pと点Qは点Aへ向かって辺上を毎秒1cmの速さで、点Rは点Bへ向かって辺上を毎秒［ ア ］cmの速さで移動します。直線QRは常に辺ABに平行であるとき、次の問いに答えなさい。（聖光学院2023）
⑴ ［ ア ］にあてはまる数を答えなさい。
はじめに点Cの位置にある「点Qは点Aへ向かって辺上を毎秒1cmの速さで」進むから「AC=10cm」よりAに着くのは10秒後。
とするとCを出た点RがBに着くのも10秒後（そうでないと「直線QRは常に辺ABに平行」とはならない）
よって「BC=12cm」より点Rの速さは 12÷10＝秒速1.2㎝ だから ア＝1.2
⑵ 三角形APQと三角形QRCの面積について、面積の大きいほうが小さいほうの25倍になるのは、3点P、Q、Rが移動を開始してから［ イ ］秒後です。［ イ ］にあてはまる数として考えられるものをすべて答えなさい。
たとえば3秒後の「三角形APQと三角形QRCの面積」を調べると次のようになっている。
PとQの速さは同じだから直線PQは常に辺BCに平行になるということ。とすると「直線QRは常に辺ABに平行」だから三角形APQと三角形QRCは常に相似となる。
したがって「面積の大きいほうが小さいほうの25倍になる」とは面積比が大：小＝25：1ということだから辺の比AQ：QCが5：1か1：5になるところをさがせばよい。
よって①CQ＝⅙×CA＝⁵⁄₃㎝となる⁵⁄₃秒後と、②CQ＝⅚×CA＝²⁵⁄₃㎝となる²⁵⁄₃秒後が条件に合うから イ＝⁵⁄₃, ²⁵⁄₃
⑶ 3点P、Q、Rが移動を開始してから5秒後の3点の位置をそれぞれP₅、Q₅、R₅とし、8秒後の3点の位置をそれぞれP₈、Q₈、R₈とします。直線P₅Q₅とP₈R₈の交点をX、直線P₅R₅とP₈R₈の交点をY、直線P₅R₅とQ₈R₈の交点をZとします。このとき、直線AR₅の長さは8cmとなります。
① 三角形P₅XYの面積は何㎠ですか。
問題文にある情報を書き込むと次のとおり。
このとき△P₈P₅Xと△P₈BR₈は相似だから BP₅：P₅P₈＝5：3 より
R₈X：XP₈＝5：3…㋐
また次のようにP₈からBCと平行な補助線を引いてできる三角形の相似を2通り考えると
R₈Y：YP₈＝1：1…㋑
㋐㋑を比合わせして
R₈Y：YX：XP₈＝4：1：3
とすると辺の比と面積比の関係から
△P₅XYの面積は△P₅P₈R₈の面積の⅛倍
だとわかる。
よって
- △ABCの面積は BC×AR₅÷2＝12×8÷2＝48㎠…❶
- △P₈BR₈の面積は隣辺比と面積比の関係から ❶×⁸⁄₁₀ײ⁄₁₀＝48×⅘×⅕＝¹⁹²⁄₂₅…❷
- △P₅P₈R₈の面積は ❷×⅜＝⁷²⁄₂₅…❸
より三角形P₅XYの面積は
❸×⅛＝⁹⁄₂₅＝0.36㎠
② 直線YZの長さは何cmですか。
P₅P₈は3㎝、R₈Zも3㎝（＝BP₅×⅗）だから
△P₅P₈Yと△R₈ZYは合同
よって（P₅Z＝AQ₈＝2㎝より）
YZ＝P₅Z÷2＝1㎝ 
