以前の記事の続きです。
立体を2回切断したあとの体積を求める問題では切る順番を逆にしてみる ことでイメージしたり計算したりすることが断然ラクになるというものが多いようです。
今年の出題例では次のようなものがあります。
その1(成蹊2024)
図2は、1辺が4cmの立方体から、底面が1辺2cmの正方形である直方体を切り取ってできる立体です。4点B、C、E、Hを通る平面でこの立体を切ってできる2つの立体のうち、点Aを含(ふく) む立体の体積を求めなさい。
問題文では「1辺が4cmの立方体 」から
①まず「底面が1辺2cmの正方形である直方体 」を切り取り(図2)
②そのあと「4点B、C、E、Hを通る平面 」で切る
という順番なので残る立体のイメージや計算がしにくい。
そこで切る順番を逆にしてみる (そうしても答えは変わらない) 。すると
まず②の切断をすると、A側に残る部分はもとの立方体のちょうど半分だからその体積は4×4×4÷2=32㎤
つぎに①の切断をすると、切り取られる三角柱の体積は2×2÷2×2=4㎤
よって点Aを含む立体の体積は
32-4=28㎤
その2(海城2024帰国)
下の図のような1辺の長さが12cmの立方体があります。点P、Q、R、Sは各辺のまん中の点です。この立方体から、三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPHを取り除いてできる立体について、次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。
⑴ この立体の体積を求めなさい。
この立体は「1辺の長さが12cmの立方体…から、三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPHを取り除いてできる立体 」だから①取り除く部分を②全体から引いて求めると
取り除く部分…「点P、Q…は各辺のまん中の点 」だから「三角すいAPQE 」の体積は6×6÷2×12÷3=72㎤。そして「三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPH 」もこれと合同な三角すいなので、取り除く三角すい4つを合わせた体積は 72×4=288㎤
全体…「1辺の長さが12cmの立方体 」の体積は12×12×12=1728㎤
よってこの立体の体積は 1728-288=1440㎤
⑵ この立体の表面積を求めなさい。
上面、底面、側面に分けてしらべると
上面… 正方形PQRS。この面積は正方形ABCDの面積の半分だから12×12÷2=72㎠
底面… 正方形EFGH。この面積は12×12=144㎠
側面… ぜんぶで8面。そのうち①4面は△PQEと合同 な二等辺三角形、②残り4面は△QEFと合同 な二等辺三角形。それぞれ面積を求めると
まず三角すいAPQEは「特別な三角すい 」になっている。これを展開図にすると正方形となり、△PQEの面積は正方形全体の⅜ となっている
したがって①△PQEの面積は 12×12×⅜=54㎠。これと同じものが4面あるから 54×4=216㎠
また②△QEFは底辺、高さとも12㎝の三角形だから面積は12×12÷2=72㎠。これと同じものが4面あるから 72×4=288㎠
よって求める表面積は 72+144+216+288=720㎠
⑶ 3点P、F、Gを通る平面でこの立体を切ったとき、Eをふくむ方の立体の体積を求めなさい。
問題文では「1辺の長さが12cmの立方体 」から
①まず「三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPH 」を切り取り(下図)
②そのあと「3点P、F、Gを通る平面 」で切る
という順番なので残る立体のイメージや計算がしにくい。
そこで切る順番を逆にしてみる 。すると
まず②の切断をすると、E側に残る部分はもとの立方体のちょうど半分だからその体積は12×12×12÷2=864㎤
つぎに①の切断をすると、下図の赤の三角すい2つが切り取られることとなる。このうち手前の三角すいPーAEOに注目 すると(後ろの三角すいはこれと合同なので最後に2倍する)
QEとAFの交わる点をOとすると、△AOQと△FOEは相似で相似比1:2(AQ=6㎝、FE=12㎝より) だからQO:OE=1:2 。したがって辺の比と面積比の関係 より (△AOEの面積)=(△AQEの面積)×⅔=6×12÷2×⅔=24㎠
この△AOEを三角すいPーAOEの底面とみると高さはAPだから6㎝
したがって三角すいPーAOEの体積は 24×6÷3=48㎤
よって求める体積は864-48×2=768㎤