以前の記事の続きです。
今年出された数の性質の問題の第2回です。
その1（広尾学園小石川2026）
ある規則で語「MATH」は「111・001・202・022」、語「CLUB」は「010・110・210・002」と表されるとき、同じ規則で「102・112・120・212」と表される語は▢です。
「「MATH」は「111・001・202・022」」よりA＝001、「「CLUB」は「010・110・210・002」」よりB＝002、C=010とわかる。するとこの3けたの数はアルファベットの順番を3進法で表したものだと推測できる。
念のため、M＝111についてもたしかめておくと、3進法では右から1の位、3の位、9の位となるから3進法の111は十進法では9+3+1＝13となる。そしてMは13番目のアルファベットなのでこの推測で正しい。
すると「102・112・120・212」であれば
- 102…9×1+2＝11。11番目はK
- 112…9×1+3×1+2＝14。14番目はN
- 120…9×1+3×2＝15。15番目はO
- 212…9×2+3×1+2＝23。23番目はW
よって▢はKNOW
その2（和歌山信愛2026）
0から9までの番号が書かれたシールが、それぞれたくさんあります。愛子さんは、これらのシールを使って、1から順番に番号カードを1枚ずつ作ります。1は「1」の 1枚、15は「1」「5」の2枚、100は「1」「0」「0」の3枚のシールをはって作ります。1から▢までの番号カードを1枚ずつ作ると、ちょうど300枚のシールを使うことになります。
1から▢までの番号カードについてけた数で場合分けしてしらべると
- 1から9まで（1けた）のカード9枚を作るにはシール1枚ずつ使う→必要なシールは1×9＝9枚
- 10から99まで（2けた）のカード90枚を作るにはシール2枚ずつ使う→必要なシールは2×90＝180枚
- この時点で残っているシールは300－9－180＝111枚。100から▢まで（3けた）のカードを作るにはシール3枚ずつ使うから、111÷3＝37より、100から数えて37枚のカードを作ったということ
よって▢は 136
その3（豊島岡2026第3回）
次の各問いに答えなさい。
⑴ 次の式の▢に、1, 2, 3, 4, 5をそれぞれ1回ずつ入れて計算します。計算した結果のうち、最も大きい奇数はいくつですか。 ▢×▢×▢＋▢×▢
- 最も大きい整数を考えると5×4×3+2×1＝62。だがこれは偶数だから適さない
- 2番目に大きい整数は3と2を入れかえたときにできる5×4×2+3×1＝43。これは奇数だからこれが最も大きい奇数となる
よって 43
⑵ 次の式の▢に、1, 2, 3, 3, 3, 5, 5をそれぞれ1回ずつ入れて計算します。計算した結果のうち、素数は1つだけでした。それはいくつですか。ただし、素数とは2以上の整数で、1とその数の他に約数がない数です。
▢×▢×▢×▢＋▢×▢×▢
3個ある3と2個ある5に注目すると
❶たとえば2個ある5について、▢×▢×▢×5＋▢×▢×5のように＋の左右に分けてしまうと、この結果は5×(▢×▢×▢＋▢×▢)と5でくくることができてしまう（分配法則）。つまり5の倍数になってしまい素数にはならない。したがって3×3×3と5×5はかたまりとして使い＋の左右に分けることとなる
❷すると考えられるのは
▢×3×3×3＋▢×5×5＝▢×27＋▢×25…ア
▢×▢×5×5＋3×3×3＝▢×▢×25＋27…イ
のどちらか。
この▢に1，2を入れるとどうなるかしらべると
- アで1，2の順に入れたとき…1×27+2×25＝77となり素数ではない
- アで2，1の順に入れたとき…2×27+1×25＝79となり素数
- イの場合（順番を問わない）…1×2×25+27＝77となり素数ではない
よって79 
の長方形）
