受験算数はきょうもおもしろい
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受験算数はきょうもおもしろい

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比で解く回転体の体積問題

以前の記事の続きです。

 

今年出題された回転体の体積問題のうち比で解くのが早いという問題です。

 

  その1（カリタス2024第2回）

 

右図のような1辺の長さが1cmの正方形を7個組み合わせた図形を直線アのまわりに1回転させます。このときにできる立体の体積は▢㎤です。
 

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 真ん中に1個ある正方形をアのまわりに1回転させてできる円柱の体積を1とする（下図左の赤）
  2. このときそれぞれの正方形を1回転させてできる立体の体積は上図右のように内側から1、3、5となる（過去記事「回転体の体積計算を工夫する②」など参照）
  3. したがって全体の体積は19（＝1×3+3×2+5×2）
よって体積1は（底面の半径1㎝、高さ1の円柱の体積だから） 1×1×3.14×1＝3.14㎤より、求める回転体の体積▢はこの19倍で

3.14×19＝59.66㎤

 

 

  その2（桐光2024第3回）

 

図のように、1辺の長さが1cmの正方形6個を組み合わせた図形を、直線Oの周りに1回転させてできる立体の体積は▢㎤です。
 

 

右矢印 最も内側に1個ある正方形を𝓵のまわりに1回転させてできる円柱の体積を1とする

  1. このときそれぞれの正方形を1回転させてできる立体の体積は次のように内側から1、3、5となる
  2. したがって全体の体積は22（＝1+3×2+5×3）
よって体積1は1×1×3.14×1＝3.14㎤より、求める立体の体積▢はこの22倍で
3.14×22＝69.08㎤ 

 

 

  その3（東京女学館2024第4回）

 

下の図形Xは、1辺が1cmの正方形を5つ並べて作られたものです。このとき、次の各問いに答えなさい。
⑴ 直線HGを軸として図形Xを1回転させます。このとき、Xが通過してできる立体の体積を求めなさい。
 

 

右矢印「直線HGを軸として」回転させてできる立体の体積比は次のとおり

このとき全体の体積は9（＝1×3+3×2）

 
よって体積1は（底面の半径1㎝、高さ1の円柱の体積だから）1×1×3.14×1＝3.14㎤より
3.14×9＝28.26㎤ 
 

⑵ 4点A、B、E、Fを通る直線を軸として図形Xを1回転させます。このとき、Xが通過してできる立体の体積を求めなさい。

 

右矢印「4点A、B、E、Fを通る直線を軸として」回転させてできる立体の体積比は次のとおり

このとき全体の体積は11（＝1×2+3×3）

 

よって（体積1は3.14㎠だから）全体の体積は

3.14×11＝34.54㎤

 

⑶ 直線AHを軸として図形Xを1回転させます。このとき、Xが通過してできる立体の体積を求めなさい。

 

右矢印「直線AHを軸として」回転させてできる立体の体積比は次のとおり

このとき全体の体積は15（＝1×2+3+5×2）

 

よって（体積1は3.14㎠だから）全体の体積は

3.14×15＝47.1㎤ 完了

 

 

 

 

 

 

電車の旅人算③

以前の記事の続きです。

 

今年の中学入試で出された電車の旅人算の問題です。

 

  電車どうしのへだたりグラフ（東京女学館2024帰国）

 

A駅とB駅の間を急行電車と普通電車が往復しています。急行電車はA駅を時速60kmの速さでB駅へ向けて出発し、普通電車はB駅を急行電車より遅い速さでA駅へ向けて出発しました。それぞれの電車は、駅に到着すると10分間だけ停車します。下の図は,急行電車と普通電車が同時に出発してからの時間と、急行電車と普通電車との間の距離の関係を表したグラフです。このとき、次の各問いに答えなさい。

⑴ A駅とB駅との間の距離を求めなさい。

 

右矢印 このへだたりグラフを見ると、▢のある●にぶつかるまでの間に●が3つある。つまりグラフの形が3回変化している。

 

3つの●を左から順に❶、❷、❸とすると
  1. 「急行電車はA駅を時速60kmの速さでB駅へ向けて出発し、普通電車はB駅を急行電車より遅い速さでA駅へ向けて出発」するから❶は72分後に2つの電車が出会ったところ、
  2. ❷はA駅を出た急行電車が120分後にB駅に着いたところ、
  3. 「電車は、駅に到着すると10分間だけ停車」するから❸はB駅で10分停車した急行電車が130分後にA駅に向けて折り返し運転をはじめたところ
ということが読み取れる。
 
よって❷よりAB間は急行電車が120分かかる距離とわかるから
時速60km×2時間＝120km

 

⑵ 普通電車の速さを求めなさい。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 急行電車はA駅を出てから普通電車に出会うまでに72分、そこからB駅に着くまでに48分（＝120－72）かかったことがグラフからわかる
  2. これは普通電車が72分で進む距離を急行電車は48分で進むということ。すると距離一定のとき速さの比はかかった時間の逆比だから普通電車の速さ：急行電車の速さ＝48：72＝2：3
よって普通電車の速さは 時速60km÷3×2＝時速40km

 

⑶ ▢にあてはまる数を求めなさい。

 
右矢印 ▢のある●を❹とする。
上で見たように❸は急行電車がB駅で折り返してA駅に向かいはじめたところだから（このとき普通電車も同じB→A方向に結構な時間進んでいるから）❸のつぎにグラフの形が変わる❹は普通電車がA駅に着いたところ（❹とその右の●との時間差が❷❸の時間差と同じくらいになっている。これを普通列車のA駅での停車時間10分と考えるとぴったりつじつまが合う）
  1. そうすると▢は普通電車がA駅に着いたときの急行電車とのへだたりをあらわす。つまり普通電車がA駅に着くのは3時間後（＝120÷40）だから▢は3時間後の2つの電車間のへだたりということ
  2. そこで3時間後の急行電車の様子（❹）を考えると
  • A駅を出た急行電車がB駅に着くのが2時間後（❷）
  • ここで「10分間だけ停車」したあとB駅を折り返し出発するのが2時間10分後（❸）
  • すると（3時間－2時間10分＝50分より）3時間後の急行電車はB駅で折り返してA駅方向に50分進んだところにいる。これは（いま普通電車が停車中の）A駅まであと70分（＝120－50）かかる距離だからその距離は時速60km÷60×70＝70km
よって▢＝70
 

 

  電車に□分ごとに追いこされる問題（吉祥女子2024第2回）

 

東西にのびる線路とその線路沿いに道路があります。東に向かう電車も西に向かう電車もすべて同じ速さで、すべて8分ごとの等しい間かくで運転されています。花子さんは線路沿いの道路を時速6kmの速さで東に向かって歩いています。このとき、花子さんは東に向かう電車の先頭に10分ごとに追いこされます。次の問いに答えなさい。
⑴ 電車の速さは時速何kmですか。

 

右矢印「池のまわりの旅人算」と同じように考えるとわかりやすい

  1. 電車は「8分ごとの等しい間かくで運転されて」いるから1周を8分で走る電車と花子さんとの池のまわりの追いつき算と考える
  2. すると花子さんは電車に「10分ごとに追いこされ」るから、図にすると花子さんが10分で歩く距離を電車は2分で進むのがわかる
  3. したがってかかる時間の比が10分：2分＝5：1なのでその逆比で速さの比は花子さん：電車＝1：5
よって花子さんが「時速6kmの速さ」だから電車の速さは6×5＝時速30km
 

⑵ 花子さんは、西に向かう電車の先頭と何分何秒ごとにすれちがいますか。途中の式や考え方なども書きなさい。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. こんどは1周を8分で走る電車と花子さんとの池のまわりの出会い算と考える
  2. すると電車と花子さんの速さの比が5：1なので（距離は速さに比例するから）距離の比も5：1。つまり花子さんと出会うまでに電車が走る距離は池の一周を距離⑥としたときの⑤
よって（距離は時間に比例するから）1周を8分で走る電車だから最初に出会うのは8分×⅚＝6⅔分後なので6分40秒ごと

 

⑶ 東に向かう電車の先頭が、西に向かう電車の先頭とすれちがってからその次の西に向かう電車の先頭とすれちがうまでに、東に向かう電車は何m走りますか。

 

右矢印 こんどは1周を8分で走る電車どうしの池のまわりの出会い算と考える。すると出会うのは4分後

 

よって時速30kmの電車が4分走る距離だから 

30×1000÷60×4＝2000ｍ 完了

 

 

 

 

 

 

水の深さ⑨

以前の記事の続きです。

 

今年の中学入試より、容器に水を入れたり、その容器をかたむけたり上下さかさまにしたりしたときの水の深さをテーマにした出題例の第2回です。

 

  その1（普連土2024算数）

 

図のように底面の半径が6cmで、深さが9cmの円すいを逆さにした容器があります。この容器に上から水を一定の割合で入れていきます。水を入れ始めてから4秒後に深さ3cmまで水がたまりました。あと何秒で、この容器は水で満たされますか。
 

 

右矢印 いまの状態と水がいっぱいになったときの状態を比べると

水の深さの比は1：3（＝3㎝：9㎝）だから

水量の比は1：27（＝1×1×1：3×3×3）

 

よって水量1を入れるのに4秒かかったから水量27まであと水量26を入れるのにかかる時間は（4×26＝104より）あと104秒

 

 

  その2（東京女学館2024第2回）

 

下の【図1】は、底面が正方形の直方体の容器を正面から見たもので、7cmの深さまで水が入っています。この容器の底面の一辺を地面につけたまま傾けていき、128㎤の水をこぼしたところ、【図2】のようになりました。底面の正方形の一辺の長さを求めなさい。

 

右矢印 この容器の容積を⑩とすると

  1. 【図1】の水の量は⑦、【図2】の水の量は⑤とあらわせる
  2. この差②は「128㎤の水をこぼした」結果だから①＝64㎤
  3. したがってこの容器の容積⑩は640㎤
よって【図1】よりこの容器の底面積は64㎠（＝640÷10）だから底面の正方形の一辺の長さは 8㎝

 

 

  その3（函館ラ・サール2024第2次）

 

図1のような形のビン（点線より下は円柱）があります。このビンの底面は直径が10cmの円で、このビンの高さは28cm、このビンのロまでいっぱいにした容積は1884㎤です。ただし、ビンの厚さは考えないものとして、次の問いに答えなさい。・円周率は3.14とします。

⑴ このビンの中にいくらか水を入れてふたをしめ、まっすぐに立てて水面の高さのところで印㋐をつけました（図2）。次に、ビンをさかさにして同じようにまっすぐに立てて水面の高さのところで印㋑をつけたところ、印㋐と一致(いっち)しました（図3）。このとき印㋐は底から何cmのところにありますか。

 

右矢印【図2】で印㋐の底からの高さを▢㎝とする。密閉した容器では空気部分の体積は変わらない（水量が一定なので）ことを利用して考えると

  1. 「ビンの底面は直径が10cmの円」だから図2の水の体積は5×5×3.14×▢＝▢×78.5。このとき「ビンのロまでいっぱいにした容積は1884㎤」だから図2の空気部分の体積は1884－□×78.5…ア
  2. 図3の空気部分の体積は▢×78.5…イ
  3. アとイは同じなので 1884－□×78.5＝▢×78.5 より（▢×157＝1884 だから）▢＝12

よって 12㎝

 

⑵ ビンの中の水の量をかえて⑴と同じようなことをしたとき　(図4、5）、印㋒と印㋓の間かくが4cmありました。このとき、ビンの中の水の量は何㎤ですか。

 

右矢印【図4】で印㋒の底からの高さを▢㎝とすると

  1. 図4の水の体積は▢×78.5。このとき図4の空気部分の体積は1884－□×78.5…ウ
  2. また図5の空気部分の体積は (▢－4)×78.5…エ
  3. ウとエは同じなので 1884－□×78.5＝(▢－4)×78.5 より（▢×157＝2198 だから）▢＝14

よって図4の水の高さが14㎝だからその水の量は 78.5×14＝1099㎠

 

⑶ ビンの中の水の量を628㎤にして、ビンをさかさまにまっすぐ立てました（図6）。このとき、水面はビンの口から何cmの高さにありますか。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 「水の量を628㎤に」したとき空気部分の体積は1256㎤（＝1884－628）
  2. また図6の空気部分の底面積は78.5㎠だから空気部分の高さは16㎝（＝1256÷78.5）

よって「ビンの高さは28cm」だからビンの口からの水面の高さは 28－16＝12㎝ 完了

 

 

 

 

 

 

 

2回の立体切断⑤

以前の記事の続きです。

 

立体を2回切断したあとの体積を求める問題では切る順番を逆にしてみることでイメージしたり計算したりすることが断然ラクになるというものが多いようです。

今年の出題例では次のようなものがあります。

 

  その1（成蹊2024）

 

図2は、1辺が4cmの立方体から、底面が1辺2cmの正方形である直方体を切り取ってできる立体です。4点B、C、E、Hを通る平面でこの立体を切ってできる2つの立体のうち、点Aを含(ふく)む立体の体積を求めなさい。　

 

右矢印 問題文では「1辺が4cmの立方体」から

 ①まず「底面が1辺2cmの正方形である直方体」を切り取り（図2）

 ②そのあと「4点B、C、E、Hを通る平面」で切る

という順番なので残る立体のイメージや計算がしにくい。

 

そこで切る順番を逆にしてみる（そうしても答えは変わらない）。すると

  1. まず②の切断をすると、A側に残る部分はもとの立方体のちょうど半分だからその体積は4×4×4÷2＝32㎤
  2. つぎに①の切断をすると、切り取られる三角柱の体積は2×2÷2×2＝4㎤

 

よって点Aを含む立体の体積は

32－4＝28㎤

 

 

  その2（海城2024帰国）

 

下の図のような1辺の長さが12cmの立方体があります。点P、Q、R、Sは各辺のまん中の点です。この立方体から、三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPHを取り除いてできる立体について、次の問いに答えなさい。ただし、角すいの体積は、(底面積)×(高さ)÷3で求められるものとします。

⑴ この立体の体積を求めなさい。

 

右矢印 この立体は「1辺の長さが12cmの立方体…から、三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPHを取り除いてできる立体」だから①取り除く部分を②全体から引いて求めると

  1. 取り除く部分…「点P、Q…は各辺のまん中の点」だから「三角すいAPQE」の体積は6×6÷2×12÷3＝72㎤。そして「三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPH」もこれと合同な三角すいなので、取り除く三角すい4つを合わせた体積は 72×4＝288㎤
  2. 全体…「1辺の長さが12cmの立方体」の体積は12×12×12＝1728㎤
よってこの立体の体積は 1728－288＝1440㎤

 

⑵ この立体の表面積を求めなさい。

右矢印 上面、底面、側面に分けてしらべると

  1. 上面…正方形PQRS。この面積は正方形ABCDの面積の半分だから12×12÷2＝72㎠
  2. 底面…正方形EFGH。この面積は12×12＝144㎠
  3. 側面…ぜんぶで8面。そのうち①4面は△PQEと合同な二等辺三角形、②残り4面は△QEFと合同な二等辺三角形。それぞれ面積を求めると
  • まず三角すいAPQEは「特別な三角すい」になっている。これを展開図にすると正方形となり、△PQEの面積は正方形全体の⅜となっている
  • したがって①△PQEの面積は 12×12×⅜＝54㎠。これと同じものが4面あるから 54×4＝216㎠
  • また②△QEFは底辺、高さとも12㎝の三角形だから面積は12×12÷2＝72㎠。これと同じものが4面あるから 72×4＝288㎠
よって求める表面積は 72+144+216+288＝720㎠

 

⑶ 3点P、F、Gを通る平面でこの立体を切ったとき、Eをふくむ方の立体の体積を求めなさい。

 

右矢印 問題文では「1辺の長さが12cmの立方体」から

 ①まず「三角すいAPQE、三角すいBQRF、三角すい CRSG、三角すいDSPH」を切り取り（下図）

 ②そのあと「3点P、F、Gを通る平面」で切る

という順番なので残る立体のイメージや計算がしにくい。

 

そこで切る順番を逆にしてみる。すると

  1. まず②の切断をすると、E側に残る部分はもとの立方体のちょうど半分だからその体積は12×12×12÷2＝864㎤
  2. つぎに①の切断をすると、下図の赤の三角すい2つが切り取られることとなる。このうち手前の三角すいPｰAEOに注目すると（後ろの三角すいはこれと合同なので最後に2倍する）
  • QEとAFの交わる点をOとすると、△AOQと△FOEは相似で相似比1：2（AQ＝6㎝、FE=12㎝より）だからQO：OE＝1：2。したがって辺の比と面積比の関係より (△AOEの面積)＝(△AQEの面積)×⅔＝6×12÷2×⅔＝24㎠
  • この△AOEを三角すいPｰAOEの底面とみると高さはAPだから6㎝
  • したがって三角すいPｰAOEの体積は 24×6÷3＝48㎤

よって求める体積は864－48×2＝768㎤ 完了

 

 

 

 

 

 

デジタル数字

以前の記事の続きです。

 

デジタル表示された数字についての場合の数の問題です。

 

図1の図形の1〜7の7か所のうち何か所かをぬりつぶして、0〜9までの数を図2のように表します。図3の2けたの整数23は10か所をぬりつぶして、図4の3けたの整数456は15か所をぬりつぶしてできます。ただし、2けたの整数の十の位は0ではなく、3けたの整数の百の位は0でないとします。（桐光2024第3回）
⑴ 6か所をぬりつぶしてできる2けたの整数をすべて書きなさい。
 

 

右矢印 はじめに「0〜9までの数」がそれぞれ何か所をぬりつぶしてできている数かしらべると（たとえば2か所をぬりつぶしてできる数を②のように書くと）

と整理できる（①③はなし）

 

すると「6か所をぬりつぶしてできる2けたの整数」は（6＝1+5は❌、6＝2+4は二重丸、6＝3+3は❌なので）②と④を1つずつ使う場合だけ

 

よって条件に合う2けたの整数は

14、17、41、71

 

⑵ 13か所をぬりつぶしてできる2けたの整数をすべて書きなさい。

 

右矢印「13か所をぬりつぶしてできる2けたの整数」は（13＝6+7だけ二重丸なので）⑥と⑦を1つずつ使う場合だけ

よって条件に合う2けたの整数は

68、80、86、89、98 

 

⑶ 13か所をぬりつぶしてできる400以下の3けたの整数は何個ありますか。

 

右矢印右矢印右矢印

 

まず「13か所をぬりつぶしてできる」3けたの整数の作り方を考えると

  1. （13＝2+4+7と考えて）②④⑦を1つずつ使う場合
  2. （13＝2+5+6と考えて）②⑤⑥を1つずつ使う場合
  3. （13＝4+4+5と考えて）④を2つと⑤を1つ使う場合

の3つのパターンがある。それぞれの場合についてしらべると

⒈ ②④⑦を1つずつ使う場合

「400以下」の条件に合うのは百の位が1のものだけだから148、178、184、187の4個…ア

 

⒉ ②⑤⑥を1つずつ使う場合

「400以下」なので百の位は1、2、3のどれか。場合分けしてしらべると

  • 百の位が1のもの…十の位と一の位の数を⑤⑥から1つずつ選ぶ選び方が3×3＝9通り。どちらを十の位にするかで2通りずつあるから9×2＝18個…イ
  • 百の位が2のもの…十の位と一の位の数を②⑥から1つずつ選ぶ選び方が1×3＝3通り。どちらを十の位にするかで2通りずつあるから3×2＝6個…ウ
  • 百の位が3のもの…ウと同じで6個…エ
 

⒊ ④を2つと⑤を1つ使う場合

「400以下」なので百の位は2か3のどちらか。場合分けしてしらべると

  • 百の位が2のもの…244、247、274、277の4個…オ
  • 百の位が3のもの…344、347、374、377の4個…カ

よってア～カの合計で

4+18+6+6+4+4＝42個 完了

 

 

 

 

 

 

点の移動2024⑤

以前の記事の続きです。

 

点の移動に関する今年の出題例の第5回です。

 

下の図のような台形ABCDがあります。2点P、Qはどちらもこの台形の辺上を動く点です。この2点は同時に頂点Aを出発し、点Pは秒速2cmの速さで時計回りに動き、点Qは秒速1cmの速さで反時計回りに動きます。　
頂点Aを出発してから18秒後に、2点P、Qは初めて出会いました。次の問いに答えなさい。（吉祥女子2024第2回）
⑴ 辺CDの長さは何cmですか。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 「点Pは秒速2cm…点Qは秒速1cm」だから速さの和は秒速3㎝
  2. この速さで「18秒後に、2点P、Qは初めて」出会ったから台形を一周したときに2点が動いた距離は合計54㎝（＝3×18）

よってCD＝54－(12+12+17)＝13㎝

 

⑵ 2点P、Qが初めて出会ったときの、三角形ABPと三角形ADQの面積はそれぞれ何㎠ですか。

 

右矢印右矢印右矢印

 

PとQが18秒後に初めて出会った場所は（秒速1㎝のQが18㎝動いたところだから）Bから6㎝のところ

このとき
  • 三角形ABP（赤）の面積は（底辺12㎝、高さ6㎝の三角形とみて）12×6÷2＝36㎠
  • 三角形ADQ（青）の面積は（底辺12㎝、高さ12㎝の三角形とみて）12×12÷2＝72㎠

 

⑶ 三角形ABPと三角形ADQの面積が初めて等しくなったのは、2点P、Qが出発してから何秒後ですか。また、そのときの三角形の面積は何㎠ですか。

 

右矢印右矢印右矢印

 

❶点P（秒速2㎝）がつくる△ABPの面積は次のように変化する

  • 6秒後…AからDまで12㎝だから6秒かかる。このとき面積は12×12÷2＝72㎠
  • 12.5秒後…DからCまで13㎝だから6.5秒かかる。このとき面積は12×17÷2＝102㎠
  • 21秒後…CからBまで17㎝だから8.5秒かかる。このとき面積は0
このように0～6秒、6～12.5秒、12.5～21秒の間では面積はかかった秒数に比例して変化するのでグラフは次の青の形となる。

 

❷また点Q（秒速1㎝）がつくる△ADQの面積は次のように変化する

  • 12秒後…AからBまで12㎝だから12秒かかる。このとき面積は12×12÷2＝72㎠
  • 29秒後…BからCまで17㎝だから17秒かかる。この間ずっと面積は変わらず72㎠
  • 42秒後…CからDまで13㎝だから13秒かかる。このとき面積は0
このように0～12秒の間と29～42秒の間では面積はかかった秒数に比例して変化するのでグラフは次の赤の形となる。

 

❸したがって面積が等しくなるのは2つのグラフが交わるところ星だから点PがC→Bを動く間だとわかりその面積は72㎠。

 

あとはこの交わる点星の具体的な時間をしらべると

  1. 点PがCに着くのが12.5秒後でこのとき面積102㎠
  2. ここからPがCB間を進む8.5秒の間に面積0になるから（102÷8.5＝）毎秒12㎠ずつ減っていく
  3. したがって面積72㎠まで30㎠へるのに（30÷12＝）2.5秒かかる
よって出発してからの時間にすると12.5+2.5＝15秒後。このとき面積は72㎠

 

⑷ ⑶のとき、三角形ABPと三角形ADQが重なっている部分の面積は何㎠ですか。途中の式や考え方なども書きなさい。

 

右矢印 15秒後の図を書くと次のとおり

  1. AQとDPの交わる点をOとすると△APOの面積を求めることとなる
  2. ここで△ADOと△QPOは相似で相似比は（AD：QP＝12㎝：9㎝より）4：3だからDO：PO＝4：3
  3. すると底辺比と面積比の関係より(△APOの面積)＝(△ADPの面積)×3÷(4+3)として求められる
よって重なっている部分の面積は
72׳⁄₇＝²¹⁶⁄₇㎠（30⁶⁄₇㎠）完了

 

 

 

 

 

 

 

カプレカ数③

以前の記事の続きです。

 

カプレカ数に関連する今年の出題例です。

 

  その1（成蹊2024）

 

次の問いに答えなさい。
⑴ 2けたの整数について次の操作をくり返し行います。

【操作】    
各位の数を並べかえてできる一番大きい数から一番小さい数を引く。ただし、この操作で1けたの整数になった場合には十の位に0を補って2けたの整数として考える。

［例］67に対してこの操作をくり返し行っていくと、1回目の操作で76－67=9となり、2回目の操作で90－09＝81となります。
① 整数17に対して、この操作を6回行って得られる数を求めなさい。

 

右矢印 1回目を❶のようにあらわすと

        ❶71－17＝54、❷54－45＝9

        ❸90－09＝81、❹81－18＝63

        ❺63－36＝27、❻72－27＝45

だから6回目の数は45

 

② 整数17に対して、この操作を2024回行って得られる数を求めなさい。

 

右矢印 6回目の操作で45になったあとを続けてみると

        ❶71－17＝54、❷54－45＝9

        ❸90－09＝81、❹81－18＝63

        ❺63－36＝27、❻72－27＝45

        ❼54－45＝9、❽90－09＝81

のように、7回目＝2回目、8回目＝3回目、…となるのがわかる。つまり

「9→81→63→27→45」という5個周期

をくり返す

 

よって（2024＝5×404+4 より）2024回目は4回目と同じ数だから 63

 

⑵ 3けたの整数について⑴と同じように、各位の数を並べかえてできる一番大きい数から一番小さい数を引く操作をくり返し行います。ただし、操作で1けたまたは2けたの数になった場合には数のない位に0を補って3けたの整数として考えます。
整数634に対して、この操作を2024回行って得られる整数を求めなさい。

 

右矢印 ⑴と同じような規則性がないかしらべると

  ❶643－346＝297、❷972－279＝693

  ❸963－369＝594、❹954－459＝495

  ❺954－459＝495、❻954－459＝495

のように、4回目以降はすべて495になるのがわかる。

よって495

 

 

  その2（灘2024）

 

1、2、3、4、5、6、7、8から異なる4つを選び、大きい方から順にA、B、C、Dとしました。また、選ばなかった残りの４つを並び替(か)え、E、F、G、Hとしました。すると、4桁(けた)の数ABCDから4桁の数DCBAを引いた差は4桁の数EFGHでした。4桁の数ABCDは▢です。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 4つの数を「大きい方から順にA、B、C、D」として「4桁の数ABCDから4桁の数DCBAを引いた差」を考えるというのはカプレカ数の引き算操作と同じ。そうなるともしかしたらカプレカ数と関係する話かもと推測できる
  2. そして3けたのカプレカ数は495だけ、4けたのカプレカ数は6174だけだから、E、F、G、Hの4つは6、1、7、4のどれかではないかと予想できる
  3. そこでA、B、C、Dに残った数8、5、3、2を入れてためしてみるとABCD－DCBA＝8532－2358＝6174とたしかに条件に合っている

よって▢＝8532 完了

 

 

 

 

 

場合の数2024⑫

以前の記事の続きです。

 

今年出された場合の数の問題の第12回です。

 

  カードの並べ方（東京都市大付属2024帰国）

 

1⃣のカードを3枚、2⃣のカードを2枚、3⃣のカードを1枚、合計6枚を全て使ってならべてできる6けたの整数は、全部で▢個あります。

 

右矢印 カードをおく場所が6か所あると考えると

  1. 1⃣のカード3枚のおき方は6か所から3つを選ぶ選び方で6×5×4÷(3×2×1)＝20通り
  2. 2⃣のカード2枚のおき方は残り3か所から2つを選ぶ選び方で3通り
  3. 最後に残った1か所には自動的に1⃣のカードが入る
よって20×3＝60通りのカードのおき方があるので6けたの整数の個数▢は60個

 

 

  色玉の並べ方（福岡大大濠2024）

 

赤・青・黄の3色の玉が2個ずつ、合計6個あります。同じ色の玉がとなり合わないように左から一列に並べます。並べ方は▢通りです。

 

右矢印 左はしに赤をおく場合をしらべる（青、黄からはじまる場合も同じだけあるから最後に3倍する）

すると左から3つの玉の並べ方は次の4通り

⒈ 赤→青→黄　　     ⒉ 赤→黄→青

⒊ 赤→青→赤　　     ⒋ 赤→黄→赤

この続きを4パターンそれぞれしらべると

  1. 「赤→青→黄」の続き…残りの玉は赤・青・黄。このとき赤から並べる2通りと青から並べる2通りがある（黄から並べることはできない）から4通り
  2. 「赤→黄→青」の続き…残りの玉は赤・青・黄。このとき赤から並べる2通りと黄から並べる2通りがある（青から並べることはできない）から4通り
  3. 「赤→青→赤」の続き…残りの玉は青・黄・黄。この3つの並べ方は黄→青→黄の1通り（それ以外は黄がとなり合ってしまう）
  4. 「赤→黄→赤」の続き…残りの玉は青・青・黄。この3つの並べ方は青→黄→青の1通り（それ以外は青がとなり合ってしまう）

したがって赤からはじまる並べ方が10通り（＝4+4+1+1）
よってぜんぶの並べ方▢は10×3＝30通り

 

 

  円と直線（鎌倉学園2024）

 

図のように円周を5等分した点ア、イ、ウ、エ、オがあります。　点アと点イを通る直線を①、点アと点ウを通る直線を②、点アと点工を通る直線を③、点アと点オを通る直線を④、点イと点ウを通る直線を⑤、点イと点工を通る直線を⑥、点イと点オを通る直線を⑦、点ウと点工を通る直線を⑧、点ウと点オを通る直線を⑨、点エと点オを通る直線を⑩とします。直線①〜⑩から2本を選ぶとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 2本の直線が平行になるのは何通りありますか。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 「2本の直線が平行になる」場合、5つある点のうち4つを使うこととなる。使わない点が1つできることになるが、たとえばアを使わないとき平行な直線の引き方は次の1通りだけ
  2. 同じように、イ、ウ、エ、オを使わないときの平行な直線の引き方もそれぞれ1通りだけ
よって5通り
 

⑵ 2本の直線が円の内部で交わるのは何通りありますか。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 「2本の直線が円の内部で交わる」ようにする場合、やはり4つの点を使うこととなるから、使わない点が1つできる。たとえばアを使わないとき円の内部で交わる2本の直線の引き方は次の1通りだけ
  2. 同じように、イ、ウ、エ、オを使わないときの円の内部で交わる2本の直線の引き方もそれぞれ1通りだけ

よって5通り

 

⑶ 2本の直線が円周上で交わるのは何通りありますか。

 

右矢印右矢印右矢印

  1. 「2本の直線が円周上で交わる」ようにする場合、たとえば交わる点がアのとき（アイ、アウ、アエ、アオの）4本の線のうち2本を使うこととなる。この2本の線の選び方は4×3÷2＝6通り
  2. 同じように、交わる点がイ、ウ、エ、オのときの2本の線の選び方もそれぞれ6通りずつある

よって6×5＝30通り 完了

 

 

 

 

 

 

 

推理算2024⑤

以前の記事の続きです。

 

今年出された推理算の問題の第5回です。

 

  トーナメント戦の相手（文京学院大学女子2024）

 

A,  B,  C,  D,  E,  F,  G,  Hの8つのバレーボールチームが右の図のようなトーナメント戦で戦いました。試合結果は次の通りでした。① AはCに勝った。
② EはAに2回戦で負けた。
③ GはEに、FとDはCに負けた。
④ FはHに1回戦で勝った。
このとき、Cと1回戦で戦ったチームを答えなさい。

 

右矢印 Cの戦いに注目すると

  1. 「①AはCに勝った」こと、「③…FとDはCに負けた」ことから、Cは3回戦って2勝1敗の戦績だったとわかる
  2. トーナメント戦では1回でも負けるとそこで敗退してしまうから「8つのバレーボールチーム」が参加したトーナメント戦で2勝1敗だったということはCは決勝戦まで勝ち上がり最後にAに負けたということ
  3. すると③よりCと1回戦で戦ったのはFかD。だが「④FはHに1回戦で勝った」ことからCの1回戦の相手はDだったと確定する（そして以上の結果は「②EはAに2回戦で負けた」にも反しない）
よって D

 

 

  順位決め（横浜隼人2024）

 

佐野さん、石井さん、小川さん、小野さん、田中さんの5人が50m走をした。このときの順位について、5人は次のように話している。同時に着いた人はいないものとして、1位になった人を答えなさい。
佐野「私は、1位ではありませんでした。」
石井「私は、1位でも3位でもありませんでした。」
小川「私は、佐野さんより先にゴールしました。」
小野「私より先にゴールした人は、ちょうど3人いました。」
田中「私の順位は、偶数番目でした。」

 

右矢印右矢印右矢印 

 

1位でないことが確実な人を消去法で消していくと

  • 佐野「私は、1位ではありません」→佐野さんは1位ではない
  • 石井「私は、1位でも3位でもありません」→石井さんは1位ではない
  • 小川「私は、佐野さんより先にゴール」→小川さんは1位の可能性がある
  • 小野「私より先にゴールした人は、ちょうど3人」→小野さんは1位ではない
  • 田中「私の順位は、偶数番目」→田中さんは1位ではない

よって1位は小川さん

 

なお、表にしていくと、1位小川さん、2位田中さん、3位佐野さん、4位小野さん、5位石井さんと全員の順位まで決まる。

 

  座席表（東京農大一中2024第3回）

 

実、学、桜、桃、花の5人が図の座席表について、会話をしています。会話を読んで、5人の座席として考えられるものをすべて解答欄(かいとうらん)の座席表に名前で答えなさい。ただし、使わない解答欄があってもよいものとします。
実「ぼくは2の列に座席があった。3の列には誰も座っていなかった。」学「ぼくはDの列に座ったけど、自分と同じアルファベット列、数字列の人はいなかった。」桜「私は実と同じ数字列に座ったけど、実とは前後ではなかった。」桃「私はBの列に座った。斜め隣(となり)には実が座っていた。」花「私は角の座席だった。私の列も、自分と同じアルファベット列、数字列の人はいなかった。」

 

右矢印右矢印右矢印

 

  1. 実の発言と桃の発言を合わせると桃の場所は1Bに決まる（実の場所は2Aか2Cのどちらか）
  2. つぎに花の発言より花の場所は5Aか5Eのどちらか（なお実が2Aなら花は5Eに決まる…㋐）
  3. そして学の発言より学の場所は4Dに決まる。すると桜の発言より桜の場所は2A、2C、2Eのどれか（なお実が2Cなら桜は2Aか2Eのどちらか、花は桜とちがう方の列（5Eか5A）に決まる…㋑）
したがって実、花、桜の場所関係は1つには決まらず、㋐㋑を整理すると
  1. 実が2Aなら花は5Eで桜は2C
  2. 実が2Cで桜が2Aなら花は5E
  3. 実が2Cで桜は2Eなら花は5A
という3つの場合が考えられる。
 
よって図にすると次の3つ

完了

 

 

 

 

 

 

 

 

前の場合の利用⑧

以前の記事の続きです。

 

前の場合の表を使って情報を整理すると考えやすいという場合の数の問題です。

 

点Pが正方形ABCDの頂点を、頂点Aからスタートして1秒ごとにとなりの頂点に移動します。（海陽2024Ⅲ）

⑴ 点Pがスタートしてから4秒後に頂点Aにいる移動の仕方は何通りありますか。⑵ 点Pがスタートしてから6秒後に頂点Aにいる移動の仕方は何通りありますか。

 

右矢印 前の場合の表を作ると小問⑴⑵まとめて処理できる。なお、ふつうにぜんぶの秒を書いてもいいが偶数秒だけを考えることで表はよりシンプルになる

  • はじめ（0秒後）…Aだけの1通り
  • 2秒後…A･Cのどちらかにある。どちらの場合も1秒後にB･Dどちらを通るかでそれぞれ2通りあるから「×2」してそれぞれ2通り

  • 4秒後…これもA･Cのどちらかにある。どちらの場合も3秒後にB･Dどちらを通るかでそれぞれ2通りあるから「×2」してそれぞれ8通り
  • 6秒後…これもA･Cのどちらかにある。どちらの場合も5秒後にB･Dどちらを通るかでそれぞれ2通りあるから「×2」してそれぞれ32通り

よって ⑴ 8通り、⑵ 32通り

 

次に、点Pが立方体ABCD-EFGHの頂点を、頂点Aからスタートして1秒ごとにとなりの頂点に移動します。
⑶ 点Pがスタートしてから3秒後に頂点Gにいて、さらにその3秒後に頂点Aにいる移動の仕方は何通りありますか。

 

右矢印「3秒後に頂点G」を通るので、0秒～3秒後の表と、3秒～6秒後の表に分けて考える

まず次の左の表で0秒～3秒後（1秒後は略）をしらべると

  • はじめ（0秒後）…Aだけの1通り
  • 2秒後…A･C･F･Hのどこかにある。Aの場合は1秒後に通れる点がB･D･Eの3つあるから「×3」して3通り。C･F･Hの場合は1秒後に通れる点がそれぞれ2つずつあるから「×2」してそれぞれ2通り
  • このうち3秒後にGに行けるのはC･F･Hだけだから2×3＝6通り

つぎに右の表でこんどは3秒～6秒後（4秒後は略）をしらべると

  • 3秒後…Gに着く行き方は6通り
  • 5秒後…G･B･D･Eのどこかにある。Gの場合は4秒後に通れる点はC･F･Hの3つあるから「×3」して18通り。B･D･Eの場合は4秒後に通れる点がそれぞれ2つずつあるから「×2」してそれぞれ12通り
  • このうち6秒後にAに行けるのはB･D･Eだけだから12×3＝36通り

よって36通り

 

⑷ 点Pがスタートしてから9秒後にいることのできる頂点をすべて答えなさい。

右矢印 小問⑶でみたように、点Pは奇数秒後だとB･D･E･Gのどれか、偶数秒後だとA･C･F･Hのどれかの点にいるのがわかる。

よって9秒後はB･D･E･Gのどこか

 

次に、点Pが正四面体ABCDの頂点を、頂点Aからスタートして1秒ごとにとなりの頂点に移動します。⑸ 点Pがスタートしてから5秒後に頂点Aにいる移動の仕方は何通りありますか。

 

右矢印 新たに前の場合の表を作ると

  • はじめ（0秒後）…Aだけの1通り
  • 1秒後…B･C･Dのどこかにある。すべて1通りずつ
  • 2秒後…Aの1つ前はB･C･Dのどれかだからその和でAは3通り。Bの1つ前はC･D、Cの1つ前はB･D、Dの1つ前はB･Cのどちらかだからその和でB･C･Dは2通りずつ

  • 3秒後…Aの1つ前はB･C･D（A以外の3つ）のどれかだからその和でAは6通り。またBの1つ前はB以外の3つのどれかだからその和で7通り。C、Dについても同じだから結局B･C･Dは7通りずつ
  • 4秒後…Aの1つ前はA以外の3つのどれかだからその和でAは21通り。それ以外のB･C･Dは20通りずつ
  • 5秒後…Aだけ考えればよい。Aの1つ前はA以外の3つのどれかだからその和で20×3＝60通り
よって60通り 完了
 
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