以前の記事の続きです。
立体を2回切断した後の体積を求める問題では、切る順番を変えてみるとイメージしやすいものがあるという話の続きになります。
次のような問題でもこれをするとわかりやすくなります。
切る順番を変える①（西大和学園2017県外）
1辺の長さが3㎝の立方体の8つのかどから、4つの面のうち3つが同じ直角二等辺三角形となっている三角すいを8つ切りとって右の図のような立体を作りました。このとき、点Aはもとの立方体の辺の真ん中の点となります。3つの点A、B、Cを通る平面で切断するとき、点Dのある立体の体積は▢㎤です。ただし、三角すいの体積は、(底面積)×(高さ)×⅓で求めることができます。
「1辺の長さが3㎝の立方体」について「①三角すいを8つ切りとる→②ABCを通る平面で切断する」というのがいまの切断の順番。これを逆にして「❶ABCを通る平面で切断する→❷三角すいを8つ切りとる」という順番で考える。
この立方体を❶ABCを通る平面で切断すると、立方体は2つの合同な立体に切られる。2つが合同であることは、反対側の（Dのない方の）立体をイメージしてみるとよくわかる。
となると、この段階で点Dのある方の立体の体積は（うえと同じ形なので）全体の半分となり
3×3×3÷2＝13.5㎤
つぎに❷三角すいを8つ切りとるが、このうちちょうど4コが切り口の手前側にある。点Dのある立体から切りとられるのはこの4コだけ。先ほどの図にかぶせて書くと次の赤い三角すい。
この切りとられる三角すい1つの体積は
1.5×1.5÷2×1.5×⅓＝0.5625㎤
これが4コあるから 0.5625×4＝2.25㎤
よって 13.5－2.25＝11.25㎤
切る順番を変える②（早稲田中2022）
図の直方体は108㎤です。図の●は、各辺の長さを3等分しています。次の問いに答えなさい。
⑴ この直方体を3つの点D、P、Qを通る平面で2つの立体に切り分けるとき、小さい方の立体の体積は何㎤ですか。
求める立体を△DAPを底面とする横長の三角柱とみると、この底面積（△DAP）はもとの直方体の底面積（四角形DAEH）の⅓倍、高さは同じなので、体積は直方体の⅓倍。
よって「小さい方の立体の体積」は
108×⅓＝36㎤
⑵ この直方体を3つの点D、P、Qを通る平面と、3つの点ADGを通る平面で4つの立体に切り分けました。この4つの立体のうち、点Eを含む立体について、
① 立体の見取図を完成させなさい。ただし、次の図には、その立体の見えている辺の一部は太線で、見えていない辺はすべて点線でかいてあります。
次の通り。
⑵ 立体の体積は何㎤ですか。
問題文には①「3つの点D、P、Qを通る平面」と②「3つの点A、D、Gを通る平面」とで2回切り分けたとしか書いてないが、この順番だと立体がイメージしにくいので、❶ADGを通る平面→❷DPQを通る平面という順番で切り分けたとして考えてみる。
❶まずADGを通る平面で直方体を切ったときにできる立体（三角柱）の体積は全体の½なので54㎤。
❷このうちDPQを通る平面で切りとられるのは三角すい。この三角すいは、小問⑴で求めた三角柱と底面積（△DAP）が同じで、高さが⅔となっているので、その体積は
36×⅔×⅓＝8㎤
よって、求める立体の体積は54－8＝46㎤ 
