「メッシュ増やせば大丈夫」そんな意見が多いですが… 数学の限界に注意

昔は、四角系統のメッシュが主流。計算機が性能向上して、三角系統が主流に…

・計算機が非力だった時代は、計算モデルが小さく、モデルが構築し易かった。

・バブル期までは、色々余裕があり、パタパタメッシュ作成も許容＆普通　⇒　効率化で自動メッシュ推進＆三角に…

F(X,Y)の、Xでの偏微分∂F/∂Xは、Xのみで計算（Yは定数とし利用しない）

F(X,Y)の、Yでの偏微分∂F/∂Yは、Yのみで計算（Xは定数とし利用しない）下図例は、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用 ＝ 変数独立でなく×

下図：各点が物理量Fを持つとして、アイソパラメトリック要素での偏微分 ∂F/∂Y 計算概要例

●●中間地点×の値（∂F/∂Xで計算）を使い偏微分 ∂F/∂Y 計算ですが、実際、本当に、∂F/∂Y なのか？

●●中間点 × 物理量求める計算は、（その処理のみ見れば）数学上正しい　×での値を使い ∂F/∂Y 計算すると、偏微分としては、変数独立性守れず

偏微分に近いものは計算出来て、実用上十分な事が多い。特に、次数増やすと、⌒ な物理量分布が捉えられたり、解（∂F/∂Y）はマシになる。

しかし、そもそも、∂F/∂Y の計算に、∂F/∂X を利用（Yでの偏微分計算にXを利用）⇒ 偏微分の変数独立性に反し、XがYに影響及ぼし、正しい数学でない

個々の数学処理自体は、（テイラー展開であったりする訳で）そこだけ見ると、数学的に正しく見えて注意。

「座標での偏微分は、横-縦の座標軸（直交）に縛られる」数学最大の、弱点・限界・落し穴 思います。

上例のような、座標での（2変数例）偏微分解く離散計算手法は、数学上完全なら、数学書掲載でしょうが、（数学上不完全故）未記載

数学書記述は、一変数微分テイラー展開まで。偏微分変数独立性が壁で、（直交性なき場合の）多変数対応が難

その短所-弱点は、重大な割に軽視され、重大だが、判ってない人が多そう。ヤバイ感。

１：メッシュ増やす　２：次数増やす（メッシュあたりの節点数を増やす）　　どっちを行っても、

元のメッシュ（節点群）が、直交（横軸-縦軸）線上でない場合、偏微分対象外の変数が、（完全に）定数化する事はない筈

偏微分対象外の変数は定数化＆偏微分対象の変数データのみで勾配（微分）計算　それが偏微分　　　であるべきが、

X向勾配使ってY向勾配計算、アレッ？！　そんな手法が、離散計算。　（斜向き勾配の足合せ合成で、直交勾配を計算）

直交線上（横軸-縦軸線上）にないものを、（写像変換等）何らかルール適応させ、直交線上（横軸-縦軸線上）に移転

⇒　変数独立とし移転させたデータで偏微分　それは正しい数学か？　それが理工系の応用数学？

そうせぬと応用到達せぬ苦しさ。数学（理論）が抱える本質的問題でしょうか？　

また、座標による偏微分計算法は、殆ど教えられず・知らされず。 なので、「細かくすればOK」 安易に考える人が多数か？

偏微分必須条件基本基礎たる変数独立性守る範囲内では直交格子限定。実用には定義逸脱が必須＝それは偏微分でない

苦しい理工数学の現実。それで良いのか仕方なしか？「大変苦しい」　書いてくれると判り良いですが…

計算モデル（メッシュ）優秀だと、偏微分計算に有利 逆は逆 それを記載せぬ書籍が多く注意

XやYでの偏微分は、座標軸に平行な、直交直角地点の物理量勾配。多変数における微分。

微分と似たものですが、　『微分より、制約条件超厳しく、超注意』　そんな落とし穴あり。

直交-直角地点に、物理量データ存在しないと、偏微分計算困難。力学分野は、勾配の勾配＝直交物理量の差の差 シビア神経質な2階偏微分（テンソル）計算必須。

制約条件満たす点群元だと、直交直角地点に物理量データ存在 ⇒ 偏微分たる直交物理量勾配を、定義通りバッチリ計算可

じゃない点群元だと、直交地点に物理量データ存在せず＆定義通り（XやYで）偏微分できず。

直交メッシュでない場合、偏微分に必要なデータ揃わず、仕方なく、直交直角箇所の物理量勾配を、平均計算を使い計算せざるを得ず

メッシュ細かくすれば大丈夫　多い意見ですが　　細かいと直角に近づく訳でなし＆要素毎の偏微分計算用データ揃う訳でなく　

直角地点に点データ存在せぬ事は変わらずに見えます　（直交メッシュ以外は…）

直交メッシュ以外は、2個以上の勾配ベクトル合成＆平均処理　にて偏微分計算（定義通りの計算にならず）　

その偏微分計算に混入する（本来実施すべきでない　節点間にて均等増分な物理量分布前提）平均計算は、テーラ展開応用故、

「テーラー展開が基礎です」　それって、偏微分定義通りの計算でなく（偏微分対象でない別変数データ利用＆変数独立性守らず）OKなのか？

『痛い落とし穴あり』『実用まで到達できない』『それが幾何の偏微分』　判り良く教科書に記述なら助かるのですが…

工学書に、多々記述される偏微分 ∂x ∂y ∂z　実は解く策なし。微分同様手法でしか解けず=偏微分の定義守れぬ状況が想定外=痛い問題

離散計算は、例えば∂yを、dxdy組合せ計算、変数独立性無視な変則　（想定外を実施しないと実用到達せず⇒基本逸脱＆解不安定等問題）

高校レベルの数学で、止まちゃってる人は、そんなに心配せずでOK　　概して実用数学は中学高校レベル ⇒ （堅実で）問題なし

一方、大学の数学は…　工学諸分野で必須な、応力-歪のテンソル解く数学は、数学授業で学べず。（解けないので教えようがない）

テーラー展開は１変数限定＆微分のみOK＆多変数の偏微分には×　（離散計算は数学上不完全）偏微分解く完全策なし=痛い数学弱点

テ-ラ-展開のように、多変数対応できず、（力学分野で）応用性欠く実用到達せぬ理論が、基礎として君臨　変な体質は治らぬか？ 

又　デザインCGグラデーション画は、一階偏微分（Gradient）応用だが、Gradientの数学理解者が、美しいCG画描ける訳でなく

人により文系がモデリング達者な感。（デザイン等、文系が活躍する工学分野は多々あり）

「幾何偏微分は、変数独立性が厄介」「勉強出来ても実務達者になれず」 教科書に記載すべき思います。数学における痛い弱点＆落し穴 　そんな気がしますが…

積分-行列計算等は完全。偏微分のみ問題な筈（直交格子除き偏微分必須条件（定義でもある）たる変数独立性守れぬ状況発生）　数学の痛い弱点

『イタタッ』　てな風に、短所は判り易く示して欲しい気がします。

『１変数でしか使えぬ基礎たりえぬ応用利かぬ理論が、大学数学の基本として君臨』アチャ～な実体に注意

多変数のテーラー展開は、偏微分が出て来て、元になる点群に直交性必須　それを、判り良く紹介したかったのですが、意外に、

テーラー展開が難しく、（その限界を示す）簡単明解な説明は、今後の課題に…

時間）積分、行列式等の数学は完全思いますが、FEM等の離散計算の数学は問題。元来、独立変数で実施すべき偏微分を、

（直交線上にない）独立せぬ変数データ元に計算する変則（変数独立性満たさぬ、怪しい偏微分計算伴い、数学書は未記載）

近似基礎テーラー展開は、高校数学レベルの簡単な一変数限定　正しい正統的数学では、直交格子までが限界に見えます

『１変数限定（テンソルは解けず）応用利かぬ理論が数学の基本として君臨』　多大な社会損失か、数学の限界で仕方なしか？

微分（dX等で記述される）は計算できるが、幾何の偏微分（∂X）は計算できず。それが数学の限界思います。

テイラ-展開を、２変数以上に拡張すると、偏微分（例えば∂X ∂Y）が出現してしまう。直交格子でのみ一変数dXやdYに同じとみなせる

偏微分＝直交直角向勾配(複数成分) を直交せぬ点群元に計算＝数学的に正しい計算策がない（点群に平行な方向、微分勾配計算までは可能）

点群向き方向、微分勾配計算までは計算可　（直角でない斜め向のテイラー展開のみ可。実際それを計算）実用十分いう事も多く、大変微妙ですが

直交メッシュ以外、偏微分の定義通りの計算不可で注意　（直交格子以外だと、偏微分Y成分を、X成分使って計算…　変数独立性に反する）

直交メッシュなら、（座標軸に沿うテイラー展開での微分で）偏微分を定義通り計算可。

テクニックに頼ると偏微分でなくなる（定義逸脱） そこが勉強の限界な感。打破できるか？ 打破すると偏微分でなくなるパラドクスがあるか？

テンソル計算（力学全域に影響及び致命的）　グラデーション計算行う３Dポリゴンデザイン分野　そこらは、幾何偏微分解く理論不完全で注意

後者3Ｄグラデーション画は ⇒ 粗悪モデルだと勾配または法線ベクトルが乱れ画質悪化 ⇒ メッシュ増加 又は調整 で解消

前者テンソルは、２階偏微分必須。３Dグラデーション計算よりもシビア＆神経質で注意。　テンソルは、工学全域に関わり重大

（直交物理量の差の差の計算）二階偏微分必須で超難「テンソルは、(完全には)解けません」程度は、教科書に記述して欲しい。でないと…　

テイラー展開は、有用性-応用性ｰ拡張性ｰ融通性高いが故、数学における基本として重視されている（筈）　そう勘違ってしまう。

離散化では、幾何偏微分を、直角向でない、点の並び方向から計算せざるを得ず、テイラー展開で（直交勾配たる）偏微分は解けず

その解釈が妥当な筈。（アイソパラメトリック要素では、点並び向にテイラー展開を使うが、直交勾配に変換する変則技も利用）

「直交勾配への変換技まで、数学的に正しい」　思っている人が多いかも…　直角向でない斜め方向からの（回転写像含まぬ）変則変換技ですが…

テイラー展開=１変数限定理論。敢えて、2変数以上なら、（軸に平行な勾配成分）例えば ∂X ∂Y 計算必須。点群が軸に平行＆直交分布でないと厳密計算困難

それが出来てない）怪しい手法ながら、離散計算アプリは普及＆実用済。実は、理論云々は、後回し。製品化＆マーケット支配が先 ？

理論完全化を待っていては、又は、数学上厳密な範囲内に終始していては、実用到達せず＆成果得られず＆出遅れ間に合わず？　具体的には…

ξ-η⇔X-Y 離散計算に必須。上式はテーラ展開応用ともいえるが、ξ-η直交直角が上記等式必須成立条件。だと直交メッシュ限定

ξ-η直交せぬ変則系で自在形状に適応させる手法が離散計算理論。実はξ-η直角以外は正確な等式成立でない＆正しい数学でない

テイラー展開超える、使える理論打立てねばならない。が出来てない。微分は解ける＆偏微分は解けず。だと工学では欠陥

基礎として欠陥なテイラー展開が君臨せざる得ず＆対処策見出せずズルズル…　そこが数学の（超痛い）致命的限界！？

『大変痛いッ！』　判り良く書籍に書いて欲しい感。限界ある理論を根幹に据えねばならぬ。それしか策なしか？　仕方なしか？