カメは月にいけるのか？＜最終回＞調和級数の和
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
そういえば「カメは月のウサギに会いにいけるのか？ 」の答えをお伝えしておりませんでした。この問題に関して、当ブログのスーパーアドバイザーであるにいむ様 が計算してくださいました。
（にいむさんは、とっても深い数学の知識をお持ちの方です。あらゆる数学の分野に精通されています。）
さて、問題はこんなものでした。
カメは１日に１ｍ歩くことが出来ますが、２日目は1/2ｍしか歩けません。３日目は1/3ｍしか歩けません。４日目は・・・とＮ日目には1/Nｍしか歩けないのです。
さて、カメは無事に月に到着することが出来るのでしょうか？
①すごい時間がかかるけれど月まで到着できる。
②無限時間あっても無理！
③実はウサギとカメの印税でお金持ちなので、自家用ロケットで月まで！
この調和級数の和 について、高校数学の視点から考えて見ましょう。
下の図をご覧下さい。
この斜線は、横幅が１、高さ1/nの長方形です。(この図では、n=1から9までの9つの長方形です）
また赤いグラフはy=1/xのグラフです。
長方形の面積は、足し算で書いていくと
1+1/2+1/3+1/4+1/5+・・・1/n・・・
と書けます。
図から明らかなように、長方形をすべて足し合わせたほうがy=1/xのグラフとｘ軸で囲まれた面積よりも大きいですね。
ですので、x=1からx=n+1までの面積を比べる式を書くとこうかけます。
となります。右辺の積分計算は、
となりますので、これを代入すると
となります。
log(n+1）はn→∞で発散しますので、調和級数の和も発散するというわけです。
さて、では実際に調和級数の和が３８万ｋｍになるにはどれくらいかかるのかを計算してみたいと思います。
（To be continued...)
RPGの世界は丸くない！？【トーラスの展開図】
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
みなさんはファイナルファンタジーやドラゴンクエストなどのＲＰＧをプレイしたことはありますか？今回はそんなＲＰＧの世界観と数学のお話です。
私はファイナルファンタジーをよくプレイしていました。（ですので、ファイナルファンタジーを例にお話させてくださいね。）
ファイナルファンタジーでは、飛空艇という空飛ぶ乗り物があります。その乗り物で世界をず～～っと画面の端っこまで飛ぶと、逆の画面の端っこから出てきます。
小学生や中学生の頃は、なんの気もせずみていましたが、これってちょっとおかしいのです。。。
では、実際にファイナルファンタジーの世界を図に描いて見ましょう。
画面の端にいくと、もう片方の端から出てくるので、イメージとしては以下のような図になります。
（赤い矢印同士、青い矢印同士がくっついている）
さて、これがファイナルファンタジーの世界です。
ではこれをくっつけて立体にしてみましょう。
赤い矢印同士、青い矢印同士がくっついているのですから、それぞれをくっつけます。
するとどんな図形ができますか？？
そう、ファイナルファンタジーの世界は、我々の地球のように球ではないのです！
まるでミスター○ーナツで売っているオールドファッションのようなドーナツ型をしているのです。（ドーナツ型の図形については、数学のすきな女の子 おやつの時間 をご覧下さい。）
私もこのお話を聞いたとき、「確かに！」と思い、びっくりしました。
でもＦＦ４で月に行くとき、地球が丸かったような…。
完全数
こんにちは。
パーソナル数学コーチの八田陽児です。
自然数には、友愛数
、社交数、素数・・・など様々な呼び名の数があります。
今回ご紹介するのは完全数（Perfect Number）です。
その名のとおり、自然数の中で最も有名でかつ希少な数です。
完全数は、その完全さゆえにたくさんの数学者をとりこにしてきました。
今までに47個しか見つかっていません。
ユークリッド、オイラー、リュカなどたくさんの数学者がその発見に力を注ぎましたが、
いまだかつて４７個しか発見されていません。（2011年6月1日現在）
完全数とは、
自分自身を除く約数の和が自分自身になる数
のことです。
例えば、一番小さい完全数である６の場合を考えてみましょう。
６の約数は
１，２，３，６
の４つです。
今ここで「自分自身を除く約数の和」を考えます。
自分自身とは、６自身のことですので、それを除く「１，２，３」の約数の和は
１＋２＋３＝６
と自分自身（６）になります。
６以外の完全数は
２８、４９６，８１２８などがあります。ぜひ２８についても約数を計算して、完全数になるか確かめてみてくださいね。
昔のギリシアでは「神が６日で世界を創ったのは、６が完全数だから」と考えられていましたし、月の公転周期が２８日なのは２８が完全数だからとも考えられていました。
ピタゴラスは
万物は数である
と主張していました。自然数は神が創りし数であり、それ以外は人間の造った数であると考えていました。完全数の不思議さと神秘さを垣間見ると、ピタゴラスの主張も少しは理解できるかもしれませんよ(^ ^)
ちなみに最初に完全数６を発見したユークリッド以前の時代では、完全数というと１０のことを指していました。
補足１）
2003年に有名になった『博士の愛した数式』にもこの完全数が出てきました。
江夏の背番号が２８であったことと完全数のことについて書かれていましたね。
著者の小川洋子さんは「（江夏の背番号が２８だったという発見について）この作品を完成させる最後の鍵をにぎっていたのがこの発見だったかもしれない」と語っています。
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くーにーさん【パワーストーンジャッジング】
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
今日、パワーストーンのスペシャリストであるたかはしくにこ さんからストーンジャッジング の結果が届きました。
私にぴったりのストーンはジャスパーという石でした。
広大な大事のようなエネルギーを持ち、現実と向き合い、安定して前へ進む。勇気を与えてくれる石だそうです。
私はコテコテの理系頭ですので、不可思議なものはあまり信じないのですが、興味はあるので今度どこかで買ってみようと思います。
パワーストーンがお好きな方はぜひご自身にぴったりの石をストーンジャッジングで見てもらってはいかがですか？？