【ｱﾒﾝﾊﾞ限定】カメは月のウサギに会いにいけるのか！？（解答編）

こんにちは。

数学学芸員のようじ　こと　八田陽児です。

さて、カメが３８万ｋｍの距離を１日目に１ｍ、２日目に1/2ｍ、３日目に1/3ｍ…Ｎ日目に1/Nｍ進んでいきます。

果たしてカメは月に到着できるのでしょうか？？？

これは

1+1/2+1/3+1/4+…1/N+・・・

と無限に続く和です。

ちなみに

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…

という数列を調和数列と言います。

ではカメが歩く距離がどうなるか、計算してみましょう。

この計算は、小学校で習った分数計算のように「通分して、足して…」とできません。

ですので、以下のようにちょっと変えてみます。

何をしたかというと、

1/3を1/4に

1/5, 1/6, 1/7を1/8に

1/9, 1/10, …1/15を1/16に

（以下略）

置き換えた数列の和を考えます。

それぞれ、もとの数よりちょっと小さいかつ２の何乗かになっている数に置き換えました。

これがミソなのです！！！！

1/3はちょっと小さい1/4に。1/5, 1/6, 1/7はそれぞれ1/8に置き換えました。

ちょっと小さい数に置き換えているのですから、全体的に元の式よりも小さくなりますね。

次に全体的に小さくなった数列の和を考えて見ましょう。

２の何乗かになっている1/4や1/8, 1/16に置き換えたのには意味があります。

上のように、まとまりで考えるとすべて1/2に置き換えられます。

ですので、結果として級数の和は

1+1/2+1/2+1/2+…

と1/2をたくさん足す計算式になります。

さて、1/2をたくさん（無限回）足すとどうなるのか？

もちろん無限大（∞）になりますね！

さて、ここで最初の式に戻りましょう。

結果として、もともとの式（1+1/2+1/3+…）は∞になってしまうのです！

カメはいつか月に到着できるということになります。

感覚的には∞にならないような気がするのですが、計算してみると∞になるのです。

この発散式は、現代のコンピューターで足し算を計算していっても、ず～～～～っと∞に発散する様子が見られないそうです。二次関数や指数関数ならあっという間に∞に発散する様子が分かりますが、この調和級数の和はコンピューターで計算しても発散する様子が分からないのですね。

それも不思議なものです。。。