とてつもなく大きい数は？【仏教用語と数学】
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
今回は、昔メルマガに書いていたネタをご紹介です。
突然ですが、質問です。
みなさんが思いつく一番大きな数はいくつですか？
子どもにこの質問をすると、
「９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９…」と９をたくさん書くかもしれません。
億・兆・京・…と最後まで知っている方は
「９９９９無量大数？」
とおっしゃるかもしれません。
ちなみに我々が使う漢字圏の数のなかで一番大きな位がこの無量大数で、
１無量大数＝１０の６８乗（もしくは８８乗）
です。
「無量大数」は仏教用語から取られたもので、本によっては「無量」と「大数」を分けて書かれているものもあるそうです。６８乗か８８乗か、も色々と意見の分かれるところだそうです。
しかし、９をもっともっと書けば、これ以上に大きな数を作ることはできます。すなわち、（当然ですが）９９９９無量大数よりも大きな数は存在するのです。
一般的に、漢字圏での最大単位の名称は「無量大数」とされていますが、実はそれよりも大きな数の名称が漢字圏に存在するのです！！！
ご存知ですか？？
私もこのことを聞いた時、あまりの驚きに言葉がでませんでした。。。今までずっと「無量大数」が一番大きな数と思っていましたから・・・。
ではご紹介しましょう。その「無量大数」よりも大きな数の名称とは・・・
不可説不可説転（ふかせつふかせつてん）
といいます！
もうどれくらい大きいかというと、ここに書くことができないくらい大きいです。あえて書いてみると
１０の肩に約３．７×１０００００００００００００００００００００００００００００００００（１０の３７乗）が乗るそうです。
仏教では、想像もできないくらい大きな数を考えることがあったのですね！驚きです。
ではこの言葉の由来は何かといいますと、Wikipedia「不可説不可説転」 にも載っているのですが
100洛叉（らくしゃ＝10万）を1倶胝とする。倶胝倶胝を1阿庾多とする。阿庾多阿庾多を1那由他とする。那由他那由他を1頻波羅とする。（中略）不可説転不可説転を1不可説不可説とする。このまた不可説不可説（倍）を1不可説不可説転とする。
つまり、倶胝(くてい、107)から始めて倶胝の倶胝倍（倶胝の2乗）を阿庾多、阿庾多の阿庾多倍を那由他（現在の那由他 とは異なる）というように、それまでに登場した単位を全て使って数が表現できなくなったときに、新しい単位を作っている（これを上数 という）。不可説不可説転はこの系列の最後、122番目に当たるので、
（Wikipediaからの引用）
ということで上記のような大きい数になるそうです。
無量大数でも気が遠くなりますが、更にそれよりも大きな数をイメージしていたなんて・・・。
なんてすごい世界観なのでしょう！
確かに、弥勒菩薩が悟りを開くまでにあと５６億年７千万年かかると伝えられる仏教です。壮大な数字が出てきてもおかしくないかもしれませんね。。。
＊弥勒菩薩は釈迦の次に悟りを開くとされてます。
数学セミナー＆心理学セミナー ～身近なものの本質を知る～
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最後までお読みいただき、本当にありがとうございました！！
【数学ガール】分割数の一般項
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
今回は数学ガール１巻から「分割数の一般項」についてです。
数学ガール１巻の最後のお話は分割数についてです。
数学ガールでは、分割数の問題をこう紹介していました。
１円玉、２円玉、３円玉・・・がたくさんある。今、ｎ円を支払うときの支払い方法の数をPnとおく。Pnを分割数という。
たとえば、３円支払う方法を考えてみましょう。（すなわちP3です）
１円玉を①、２円玉を②、３円玉を③・・・とします。
３円支払う方法は
①＋①＋①
①＋②
③
の３通りです。
４円支払う方法は
①＋①＋①＋①
①＋①＋②
②＋②
①＋③
④
の５通りです。
＜問題＞
では５円を支払う方法は何通りでしょうか？？（P5はいくつでしょう？）
さて、数学ガールの最後にこの分割数の一般項が紹介されています。
この式は１９３７年にラーデマッハ（Hans Rademacher)によって示されました。
また数学ガールではこの式に出てくるAnについては、ちょっとしか触れられていませんでしたが、Anは
と表されます。ここで、ωh,kは１の２４乗根の解の１つです。
分割数はお金の支払い方なので、必ず自然数です。しかし、一般項にすると、こんなにも複雑な式になるのですね。この式から必ず自然数が導かれることに驚きます。。。
偽コインを探し出す問題
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
偽コインを探し出す問題をご紹介します。
＜問題＞
１２枚のコインがある。１枚は他よりも少し軽い。さて、天びんを３回使って、少し軽い偽コインを探し出すにはどうすればいいでしょうか？
これは色々な本に載っている有名な問題で、しかも簡単です。ぜひみなさんチャレンジしてみて下さい。
さて、これでは飽き足らない猛者のための問題を。
＜難問＞
１２枚のコインがある。１枚は他よりも少し重さが違う（これを偽コインとする）。重いか軽いかはわからない。さて、天びんを３回使って、偽コインを探し当てる方法は？
この問題は、コンサルティング会社の面接にもよく出てきますし、数学の本にもよく取り上げられているので
問題自体は有名です
しかし、ちゃんとした答えを言える方は少ないのではないでしょうか？
もし解法を知っていても、コメント欄には書かないで下さいね！読むだけで大変ですし、入力するだけでも大変でしょうから・・・。（それでも書いてくださる方は神です！）
さて、この問題の解法を詩にした数学者がいました。
Ｆさんがコインを並べて、こう書きました。
Ｆ ＡＭ ＮＯＴ ＬＩＣＫＥＤ
そしてこう言いました。
ＭＡ ＤＯ ＬＩＫＥ
ＭＥ ＴＯ ＦＩＮＤ
ＦＡＫＥ ＣＯＩＮ
（お母さんは私に偽コインを探させるのが好きだ！）
この詩、一体どこが解法なのでしょうか？
まず１２枚のコインを以下のように名付けます。
Ｆ ＡＭ ＮＯＴ ＬＩＣＫＥＤ
そして以下のように３回重さを量ります。
１回目：ＭＡ ＤＯ ＬＩＫＥ
２回目：ＭＥ ＴＯ ＦＩＮＤ
３回目：ＦＡＫＥ ＣＯＩＮ
すると、各コインが軽い場合、重い場合の２４通りが異なるパターンに分けられ、どれが重いか軽いか分かるようになっているのです！！！
（１回目はＭＡとＤＯを量り、２回目はＭＥとＴＯを量る。）
ぜひこの方法ですべてを確かめてみて下さい！驚くと思いますよ。
＜参考文献＞
数学の秘密の本棚 イアンスチュアート
【うそつきと正直者】論理クイズ
こんにちは。
数学学芸員のようじ こと 八田陽児です。
先日のブログ「ダウジングで数学 YES／NO問題 」で紹介した論理クイズをお話したいと思います。
＜クイズ＞
アナタは目的地に向かって歩いています。途中、分かれ道がありました。どちらにいけばいいかわかりません。しかし、そこには２人の道案内人がいました。道案内人にお金を払えば行き先を教えてもらえます。
一人は正直村の住民で、こちらの質問に対して必ず正直に答えます。もう一人はうそつき村の住民で、こちらの質問に対して必ず嘘を答えます。ただ困ったことに、どちらがどっちの村人か分かりません。更に困ったことに、アナタは１回分のお金しか持っていません。（１回しか質問できません。）更に困ったことに、YES/NOで答えるclosed questionしか質問できません。
さてどのような質問をすれば必ず正しい道を知ることができるでしょうか？？
どちらか片方の人に「こっちが正しい道ですか？」と聞いても、相手が正直者かうそつきか分かりませんので、必ず正しい答えを得られるとは限りません。
この場合、このように質問するとよいのです。
＜答え＞
私があなたに「この道は正しいですか？」と質問したら、あなたは「YES」と答えますか？
この質問をすると、相手が正直者であってもうそつきであっても、正しい道にはYESを、誤った道にはNOを答えてくれます。（お時間ある方は考えてみてくださいね。）
では４つの場合に分けてみましょう。
１．アナタが「正しい方向」を指さして、正直者に上の質問をしたとします。
すると、「正直者はあなたの『この道は正しいですか？』という質問にYESで答えるはず」なので、上の質問にはYESと答えます。
２．アナタが「誤った方向」を指さして、正直者に上の質問をしたとします。
すると、「正直者はあなたの『この道は正しいですか？』という質問にNOで答えるはず」なので、上の質問にはNOと答えます。
３．アナタが「正しい方向」を指さして、うそつきに上の質問をしたとします。
すると、「うそつきはあなたの『この道は正しいですか？』という質問に対して、嘘であるNOを答えるはず」ですね。しかも、「うそつきはYESで答えますか？に対して、さらに嘘をつくので」（本当はNOなんだけれども、嘘をついて）YESと答えるでしょう。
４．アナタが「誤った方向」を指さして、うそつきに上の質問をしたとします。
すると、「うそつきはあなたの『この道は正しいですか？』という質問に対して、嘘であるYESを答えるはず」ですね。しかも、「うそつきはYESで答えますか？に対して、さらに嘘をつくので」（本当はYESなんだけれども、嘘をついて）NOと答えるでしょう。
すなわち、この質問をすると、正しい道を指したときには必ずYESを、誤った道を指したときには必ずNOを答えるようになるのです。
嘘の嘘で真になる感じですね！
ぜひ道に迷った時は、道案内の方が正直者かうそつきかわかりませんので、上の質問をしてくださいね！！
このうそつき問題には、いろいろなバリエーションがあって、３人のものや、こちらから質問はできるけれど、相手のYES/NOが分からない（理解できない言語）バージョンなどあるそうです。