2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その３
今回は図形分野から１問。
2014年慶應大学薬学部大問１（４）の問題です。
円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＢＣＤ＝60°，ＣＤ＝2ルート6，∠ＤＡＢ＞∠ＣＤＡである。また，２直線ＢＡ，ＣＤの交点をＥ，２直線ＤＡ，ＣＢの交点をＦとすると，∠ＡＦＢ＝45°，ＤＥ＝3ルート2－ルート6である。このとき，
（１）∠ＡＥＤの大きさと辺ＥＢの長さを求めよ。
（２）△ＡＥＤの面積は，△ＣＥＢの面積の何倍か。
扱う数字の煩雑さもさることながら，毎度毎度お伝えしている通り「図がない」ことに対応できるかどうかが大きなカギとなる１問です。ここを乗り切ってしまえば，用いる知識は中学生まので学習内容で充分ですから，難関国私立受験生や中高一貫校に通う中学生にとって腕試しの１問として充分利用できます。
まず，図はこんな感じ。アバウトな感じを前面に押し出してみましたｗ
（１）△ＥＡＤにおいて，∠ＥＤＡ＝∠ＦＣＤ＋∠ＣＦＤ＝105°，∠ＥＡＤ＝∠ＥＣＤ＝60°（円に内接する四角形の条件）であるから，∠ＡＥＤ＝15°
次に，点ＥからＣＦに下ろした垂線の足をＨとすると，ＥＨ：ＥＣ＝ルート3：2，△ＥＨＢが75°の直角三角形であることよりＥＢ：ＥＨ＝4：ルート6＋ルート2，ＥＣ＝3ルート2＋ルート6であることより，
ＥＢ＝4/(ルート6＋ルート2)×ルート3(3ルート2＋ルート6)/2＝6
（２）△ＥＡＤ／△ＥＢＣ＝ＥＡ×ＥＤ ／ ＥＢ×ＥＣ
方べきの定理より，ＥＡ×ＥＢ＝ＥＤ×ＥＣであるから，ＥＡ＝2
したがって，△ＥＡＤ／△ＥＢＣ＝2×(3ルート2－ルート6) ／ 6×(3ルート2＋ルート6)＝(2－ルート3)/3（倍）
解答を求める過程で用いることはありませんでしたが，実はＣＥ＝ＣＦが成り立つため△ＣＥＦは正三角形でもあるわけです（ＤからＣＦに垂線を下ろして長さを求めてみよう）。このあたりが見えているかどうかは，手詰まりになってしまったときの「次の一手」を考える際の大きな差になります。
中学生向け「図形の問題集」が最近増えていて何よりです。中高一貫生の皆さんも，図形分野については高校入試問題にも積極的に挑戦することをお勧めします。学校の定期テストや実力テストでも，このあたりが題材になっているケースをよく見かけます。
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年下
今日は大雪。予想以上の大雪で車を駐車場から出すことができず。
雨が降って溶けた雪が池のように道路にたまり，排水溝を雪と氷が塞いでいるためあわや冠水危機。
ということで，駐車場→道路と２回雪かき。もう心身ともにヘトヘトです。
そんな中ＴＶでは羽生選手一色ですね。94年生まれの金メダリストですか。
父母が外であたふたしているときに，こたつでぬくぬくとしていた長男は93年生まれ。
どうだい，自分より年下が活躍する気分は？
これが大人になるってことですかね。
甲子園の球児，関取，オリンピック選手・・・
だんだん，自分より年下の選手ばかりになっていく。これが自分が年齢を重ねた証拠。自分より年下の選手が引退したり，自分より年下の議員が多くなってくると，もう諦めの境地。事実を認めるしかない。
自分の子どもより年下の選手が活躍するようになったら，・・・，自分はおっさんからじじいに進化しているということにしておこう。
雪の最終回
昨日色々考えながら準備した（詳細はこちら ）予備校講座の最終回ですが，雪のため短縮授業となってしまい，やりたいことの半分を消化したのみで終了となりました。
ちなみに，雪はこんな感じ。授業前（15：30頃）に校舎から撮影したものです。
う～ん，早く帰る方を選ぶよね。
「短い時間で集中」と皆状況を理解していたので，授業はすんなりと進みました。生徒たちは正四面体やら正八面体やらの図を描く時間が長かったので，特に今日は５０分が短く感じたことでしょう。
私が付き合ってあげられるのは残念ながら今日まで。
ここからは自分の足で歩いていこう。
あっという間に・・・
高校で行う予備校講座は，早いところでは今週，遅いところで２月末をもって2013年度の全日程を終了する。
１年という時間は長いようで短く，短いようで長い。
明日（正確には今日）の生徒たちとの授業は，いよいよ最終回を迎える。
習熟度別クラスの３クラス目，つまり『一番数学を苦手とする者たちのクラス』で時間を共にすることには，私にも新たな発見が多く大変有意義だった。
何が嬉しかったって，つい先週の話だが
来週は「正多面体の相互関係」を扱ってくれませんか
と，彼らの側からリクエストがあったこと。初めて見た時には
受身の姿勢で，自分で考えようとせず，解説をノートに写すだけ
だった彼らがとうとう自分たちで課題を見つけるようになったか・・・，と思ったら最終回だよ。
ちょっと残念。
ということで，出来る限り彼らの要望に応えようと，ただいま教材を作成中。学校の問題集では「？？？」の部分が多くなる生徒たちなので，どこからやり直すべきなのか考えながらの作業はけっこう時間がかかる。
中学生の復習から始めて，１００分後には大学入試問題にチャレンジ
するんだよ。東大の正八面体の問題 だけどね。
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「女子校は共学に比べて数学が伸びにくい」だとさ
世界中に多くの女子校と男子校が存在しますが、どこも同じで男女別学の方が共学に比べて、子供たちにとって..........≪続きを読む≫
教える側が「この辺まででいいか」と上限を勝手に定めてしまう影響の方が大きいと思うが。
それを言い訳にして自己研鑽を怠る→さらに生徒たちの学習意欲が下がる→先生もやる気なくす→ループ
の悪循環。