2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その６
第６弾は，2014年慶應義塾大学看護医療学部（１次）大問１（３）です。
数学Ⅰ・Ａの範囲だと，難関国私立高校受験生にとってもおなじみの問題がバシバシ登場しています。来年以降の新課程では，数学Ａの平面幾何など「高１というより中学４年」という感覚で学習するものが多くなりますから，生徒・指導者ともに一度はチェックしておきたいところです。
△ＡＢＣにおいて，∠Ａ＝60°，ＡＢ＝6，ＡＣ＝7のとき，
（１）△ＡＢＣの面積を求めよ。
（２）辺ＢＣの長さを求めよ。
（３）△ＡＢＣの外接円の半径を求めよ。
大問１の小問ですから，難易度もけっして高くありません。三平方の定理の確認作業だと思ってスラスラと解き進めてみましょう。
（１）ＢからＡＣに下ろした垂線の足をＨとおくと，∠Ａ＝60°，ＡＢ＝6より，ＡＨ＝3，ＢＨ＝3ルート3 よって，△ＡＢＣ＝1/2×ＢＨ×ＡＣ＝21ルート3／2
（２）ＢＣ＾2＝ＢＨ＾2＋ＣＨ＾2＝(3ルート3)＾2＋4＾2＝43 ＢＣ＞0より，ＢＣ＝ルート43
（３）
解法１ △ＡＢＣの外心をＯとおくと，∠ＢＡＣ＝60°より∠ＢＯＣ＝120° ＢＣ＝ルート43，ＯＢ(求める半径）：ＢＣ＝1：ルート3より，ＯＢ＝ルート43／ルート3＝ルート129／3
解法２ ＢＯの延長と△ＡＢＣとの交点をＤとおく。△ＢＡＨ∽△ＢＤＣより，ＢＡ：ＢＤ（直径）＝ＢＨ：ＢＣ
６：２Ｒ＝3ルート3：ルート43 より，Ｒ＝ルート129／3
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研修
今日は朝から某進学塾の指導者研修にインストラクターとして参加。
やる気はあるけれど経験が浅い，という講師たちに模擬授業をしてもらいながらポイントをレクチャーする役割を担当させてもらった。
彼らに共通しているのは，
自身を（生徒を）入試問題に合わせようとすること
かな。野球でいえば「自分の間合いで打席に立てていない」とでも言えばよいだろうか。出題者が投手ね。
これだと，新しい傾向がみられるたびに「これもやらせなきゃ」「これも覚えさせないと」と，勉強させる量だけがどんどん増えていくことになる。
大事なことは入試問題を自分の間合いに引き込むこと。つまり，図を描き変えたり，文章の表現を自分なりに変えてみたりして，どうにかして，
自分の経験・知識で解ける
ように導いてあげることを意識して授業をする感覚を持つ。これに尽きる。最低限の知識やテクニックは持たせておくのだけど，何でもかんでも持たせればいいってもんじゃない。本当に欠かせないものだけに厳選して，
それをどのように使えば，上手に問題を処理できるのか
を経験させてあげることが我々の仕事なんだ・・・，ってことをひたすらしゃべり続けた。
大学生はオフシーズンが勝負
大学は休み期間に入っているので学生は少ないはずなのだが、今日は妙に人が多くしかもリクルートスーツ。どうやら就活対策の研修会だか説明会だかが行われている様子。
休憩時間にちょっと覗いたら、凄く活気があった。
私の講座の受講生たちは、軌跡の問題に四苦八苦。
いわゆるオフシーズンだからこそ、それぞれがテーマを持って自分のために自身を磨かなければならないわけですな。プロ野球選手と同じだ。
他人のため、単位のためではない自己研鑽は決して無駄になるものじゃない。
みんな、頑張れ。
2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その５
今回は2014年度東京慈恵医科大学（医学部）大問１（１）を紹介します。
１から１０までの数字が１つずつ記入された１０枚のカードから３枚のカードを同時に取り出す。取り出したカードに記入してある３つの数の最小値をＸ，最大値をＹとおくとき
（１）Ｙ＝２Ｘとなる確率を求めよ。
（２）Ｙ＜２Ｘとなる確率を求めよ。 （一部改）
典型的な書き出し問題のため，高校入試で出題されてもおかしくないレベルです。
（１）１０枚から３枚を取り出す取り出し方は，10Ｃ3＝120(通り）
・Ｘ＝５，Ｙ＝１０のとき 残り１つの値は６～９の４通り
・Ｘ＝４，Ｙ＝８のとき 残り１つの値は５～７の３通り
・Ｘ＝３，Ｙ＝６のとき 残り１つの値は４～５の２通り
・Ｘ＝２，Ｙ＝４のとき 残り１つの値は３ １通り
よって，求める確率は，１０／１２０＝１/１２
（２）
・Ｘ＝１のとき考えられるＹの値はない
・Ｘ＝２のとき考えられるＹの値は３のみ 残り１つの値が決められないので不可
・Ｘ＝３のとき Ｙ＝５，残り１つの値は４ １通り
・Ｘ＝４のとき Ｙ＝７で残りの値が５～６，Ｙ＝６で残りは５ ３通り
・Ｘ＝５のとき Ｙ＝９で残りの値が６～８，Ｙ＝８で残りの値は６～７，Ｙ＝７で残りの値は６ ６通り
・Ｘ＝６のとき Ｙ＝１０で残りの値が７～９，Ｙ＝９で残りの値は８～９，Ｙ＝８で残りの値は７ ６通り
・Ｘ＝７のとき Ｙ＝１０で残りの値が８～９，Ｙ＝９で残りは８ ３通り
・Ｘ＝８のとき Ｙ＝１０，残り１つの値は９ １通り
よって，求める確率は，２０／１２０＝１/６
中高一貫生には「地道に数える作業を嫌がる」傾向がよく見られます。大学入試問題においても，中学受験の時と同じように書き出して調べることを要求される場面は多いので，公式やテクニックに頼って瞬時に正解を求めるだけの勉強スタイルが身についてしまっている人は，早めの修正が必要です。
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2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その４
第４弾は，2014年早稲田大学スポーツ科学部問１です。難関校受験を目指す中学生のテキストに出てきてもおかしくない問題でした。
(ルート3＋ルート2)／(ルート3－ルート2)の小数部分をaとするとき，aは２次方程式x^2＋（ア）x＋（イ）＝0の解であり，a＾3＋6a＾2－21a＋23の値は（ウ）である。 （一部改）
もちろん最初の作業は有理化です。
(ルート3＋ルート2)／(ルート3－ルート2）＝5＋2ルート6
次に，4＜2ルート6＜5より，9＜5＋2ルート6＜10
したがって，a＝(5＋2ルート6)－9＝2ルート6－4
ここからは２次方程式の「解から元の式を復元する」作業です。中学生でも，２次方程式と式の値が融合する問題で，１度や２度は目にするのでキチンと確認しておきましょう。
a＝2ルート6－4
a＋4＝2ルート6
(a＋4)＾2＝24
∴ a＾2＋8a－8＝0
よって，aは２次方程式x＾2＋8x－8＝0の解である。・・・（ア）（イ）
次は「次数下げ」を行います。
a＾2＋8a－8＝0 より a＾2＝8－8a
a＾3＝a＾2×a＝a(8－8a)＝8a－8a＾2＝8a－8(8－8a)＝72a－64
6a＾2＝6(8－8a)＝48－48a
よって，与式＝(72a－64)＋(48－48a)－21a＋23＝3a＋7
これにa＝2ルート6－4を代入して，3(2ルート6－4)＋7＝－5＋6ルート6・・・（ウ）
このレベルの計算であれば，中３夏期講習の時点で完璧に仕上げておくことを目標にしましょう。
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