2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その９

　さて第９弾は，神戸大学（文・理）大問２を紹介しましょう。

m，n（m＜n)を自然数とし，

　a＝n＾2－m＾2　　b＝2mn　　c＝n＾2＋m＾2

とおく。三辺の長さがa，b，cである三角形の内接円の半径をｒとし，その三角形の面積をＳとする。このとき，次の問いに答えよ。

（１）a＾2＋b＾2＝ｃ＾2を示せ。

（２）ｒをm，nを用いて表せ。

（３）rが素数のときに，Ｓをｒを用いて表せ。

（４）ｒが素数のときに，Ｓが６で割り切れることを表せ。

　これで配点が２５点。中学生の知識で充分にチャレンジできますから，受験生の立場で考えると「絶対に落とせない問題」ということになりますね。

（１）a＾2＋b＾2＝(n＾2－m＾2)＾2＋（2mn）＾2＝n＾4＋4ｍ＾2n＾2＋ｍ＾4＝（n＾2＋m＾2）＾2＝ｃ＾2

（２）　（１）より△ＡＢＣは斜辺がcの直角三角形であるから，Ｓ＝ab/2

　一般に三角形の内接円の半径ｒは，３辺の長さa，b，cと面積Ｓを用いて，ｒ＝２Ｓ/a＋b＋c（中学生でも必ず覚えておくべき公式！）と表すことができる。

このとき，分子＝２Ｓ＝ab＝2mn(n＾2－m＾2)，分母＝a＋b＋ｃ＝2n＾2＋2mnより，

ｒ＝2mn(n＾2－m＾2)／2n＾2＋2mn＝m(n＋m)(n－m)／(n＋m)＝m（n－m)

（３）ｒ＝m（n－m)で，rが素数であるから，mとn－mのどちらか一方は必ず１

また，Ｓ＝ｒ（a＋b＋c)/２・・・☆　　も成り立つ（（２）で紹介した式の変形）。

①ｍ＝１のとき　n－m＝ｒよりn＝ｒ＋1

a＋b＋c＝2n＾2＋2mn＝2n（n＋m)＝2n(n＋1)＝2(ｒ＋1)(ｒ＋2)

これを☆に代入して，S＝ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）

②ｎ－ｍ＝１のとき　ｍ＝ｒよりｎ＝ｒ＋１

a＋b＋c＝2n＾2＋2mn＝2n（n＋m)＝2n(n＋ｒ)＝2（ｒ＋1）（2ｒ＋1）

これを☆に代入して，Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）

（４）　Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）のとき：ｒ，ｒ＋1，ｒ＋2は連続する３つの整数であるからその積は必ず６の倍数。

Ｓ＝ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）のとき：

ｒ（ｒ＋1）（2ｒ＋1）＝ｒ（ｒ＋1）｛（ｒ－1）＋（ｒ＋2）｝

＝（ｒ－1）ｒ（ｒ＋1）＋ｒ（ｒ＋1）（ｒ＋2）

これは連続する３つの整数の積を２種類足したものであるから，その和も必ず６の倍数。

２月は逃げる・・・

　というけれど，本当にあっという間に終わり。

大雪に次男の大学受験　とバタバタすることが多かったこともあるけれど，色々なことが手つかずあるいは後回しになって今に至っています。申し訳ありません＞関係各位

　こうしてみると，月末の１日がいかに重要かがわかります。

原稿の締切もそう，請求書の発行などの事務仕事もそう，月末には様々な業務が重なってくるのだけれど，同じ２８日でも，

　翌月１日まであと３日もある（まだ大丈夫だ）

と考えるか，

　明日から３月だよ（うわ，大変だ）

と考えるかは大違い。確実に今の自分は後者です・・・。

2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」番外編

　国公立大学２次試験の入試問題が公開され始めています。

ちょっと気になったのが，2014年度九州大学（文・理）の大問２。

　以下の問いに答えよ。

（１）任意の自然数aに対し，a＾2を３で割った余りは０か１であることを証明せよ。

（２）自然数a，b，cがa＾2＋b＾2＝3c＾2を満たすと仮定すると，a，b，cはすべて３で割り切れなければならないことを証明せよ。

（３）a＾2＋b＾2＝3c＾2を満たす自然数a，b，cは存在しないことを証明せよ。

という問題。これを見て最初に思い出したのが2014年度東京学芸大附属高校の大問３。

次の各問いに答えよ。

（１）73＝m＾2＋n＾2となる整数m，nを１組見つけなさい。

（２）奇数を２乗した数を４で割ると余りが１になることを説明しなさい。

（３）647＝m＾2＋n＾2となる整数m，nが存在しないことを説明しなさい。

似てるでしょ（＾＾）

　九大の（３）は中学生では無理なところがありますが，（２）までは高校入試で出題されるレベルとほぼ同じ。昨年紹介した問題（参照はコチラ ）でも，高校入試と大学入試の問題における逆転現象について紹介しました。

　脱ゆとりってこういうことなんですね。昔のように「このレベル以上の出題はまかりならん！」ということはなくなっています。指導要領の逸脱が許されない国立高校の入試問題と旧帝大と呼ばれる国立大学の入試問題が似ているという現実・・・。ちなみに「中学範囲」と言われればそうです（中学校で習ったかどうかは別）。

　大人が，自身の学生時代の感覚を振り回して

　公立高校が第一志望なんだから，そんなに難しい問題にチャレンジする必要なんかない

などと，子どもの上限を決めてしまうと後からしっぺ返しをくらうことになりかねません。

　新課程として数学Ａに登場した整数（今回紹介した問題の分野）はもちろん，平面幾何や確率に「おいても，大学入試問題と難関国私立高校入試問題の境界線が急激にアヤフヤとなっているのがこの数年。それなりの進学塾に通って難関高校向けの準備をしている人にとっては，当然類題を解いた経験があるレベルですから，

高校入試のときの到達度の差は大学入試になっても結局埋まらない

　ということを明確に示しているとも言えるのです。

言い方を変えましょう。公立高校入学組であっても，ある一定の割合で「このレベルの問題までチャレンジした経験のある生徒」が存在するということです。中学時代に生じたアドバンテージを有効に利用して，おそらく大学受験においてもある部分においては余裕を持ちながら準備ができることでしょう。

　開成高校を蹴って日比谷（浦高）

なんて生徒たちにとっては，高１の学習内容の半分くらいは「中学時代の塾でやったことがあるや」って感じなのですから。

「勉強のルール」が７刷になりました

　発売からちょうど１年経過した，

中学生の成績が上がる!教科別「勉強のルール」最強のポイント65 (メイツ出版のコツがわかる本 .../メイツ出版

￥1,575

Amazon.co.jp

が，７刷になったと本日連絡が入りました。

これから新年度を迎え，心機一転頑張るにはちょうどいい季節になります。

頑張ろうとは思っているけれど，何をどうすればよいのかわからない

人にピッタリなのがこの１冊。６５のポイントのうち，１つでも２つでも実行してみてください。きっと，いままでとは違う視界が目の前にひろがるはずです。

大学生活

大学生の就職内定率、2/1時点で90％
　リクルートキャリアは2月27日、「大学生の就職内定状況調査（2014年卒）」を発表した。2014年..........≪続きを読む≫

[アメーバニュース]

卒業年度が１つ違うだけで，就職をとりまく環境はずいぶん違ってくる。

理不尽な気もするけれど，

社会を取り巻く環境がどうであれ力強く自分の足で歩き続けることができるだけのたくましさを身につけて世の中に飛び出していく

という覚悟を持って毎日の大学生活を送っていくしかないのかな。怠惰な大学生活を送った自分のことを思い出すと，申し訳ない気持ちでいっぱいだ。