2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その10
国立大学（前期）の入試問題がアップされ始めています。
今回は2014年度新潟大学（人文・経済・教育・農）の大問３から確率の問題を紹介します。
Ａの箱には１から２０までの整数が１つずつ書かれた２０枚のカードが入っている。Ｂの箱には１から３０までの整数が１つずつ書かれた３０枚のカードが入っている。Ａ，Ｂの箱から１枚ずつカードを取り出し，取り出した２枚のカードに書かれた整数の和をＸとおく。このとき，次の問いに答えよ。
（１）Ｘが２の倍数となる確率を求めよ。
（２）Ｘが２の倍数であるが５の倍数でない確率を求めよ。
（３）Ｘが５の倍数となる確率を求めよ。
（４）Ｘが２の倍数にも５の倍数にもならない確率を求めよ。
高校入試でも類題が出題（2001年立教新座）されており，高校入試のほうが設定が複雑という逆転現象が生じているテーマです。数え漏れのないように書き出す作業のみで突き進む問題ですから，中学生でも積極的にチャレンジしてください。
では，解答・解説です。
すべてのカードの取り出し方は20×30＝600（通り）あり，これらは同様に確からしい。
（１）Ｘが２の倍数になるのは，ＡとＢがともに偶数の場合・・・①，ＡとＢがともに奇数の場合・・・②
①，②はそれぞれ，10×15＝150（通り）あるので，求める確率は，(150＋150）／2＝1／2
（２）「２の倍数かつ５の倍数」は10の倍数であるから，（１）で求めた300通りから10の倍数となる取り出し方を引けばよい。
Ｘ＝10となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，9），(2，8），・・・(9，1）の9通り・・・③
Ｘ＝20となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，19），(2，18），・・・(19，1）の19通り・・・④
Ｘ＝30となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，29），(2，28），・・・(20，10）の20通り・・・⑤
Ｘ＝40となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（10，30），(11，29），・・・(20，10）の11通り・・・⑥
Ｘ＝50となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（20，30）の1通り・・・⑦
したがって，題意を満たす取り出し方は，300－（③＋④＋⑤＋⑥＋⑦）＝240（通り）となるので，求める確率は，240／600＝2／5
（３）Ｘが10の倍数となる60通りに加えて，
Ｘ＝5となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，4），(2，3），・・・(4，1）の4通り
以下，同様に，
Ｘ＝15が14通り，Ｘ＝25が20通り，Ｘ＝35が16通り，Ｘ＝45が6通り
となるので，題意を満たす取り出し方は60＋60＝120（通り） よって，求める確率は120／600＝1／5
（４）余事象で軽く求めましょう。ベン図を描いて目で点検することも忘れずに。
１－｛（１）＋（２）－（３）｝＝1／5
割合の話（資料解釈編）
前回の記事（コチラ ）で紹介した中学生が抱える「割合」に対する弱さですが，公務員試験対策講座を受講する大学生・既卒生となってもその弱点が補強されていないケースがよくみられます。
数的推理として割合を算数・数学とからめて再学習することはもちろんのこと，資料解釈の問題では割合の感覚を駆使して概算で数値を把握することが求められます。
例えば，こんな問題を扱うとき・・・
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下表は旅行目的別の海外旅行者の推移を百分率で表したものである。昭和６３年の海外旅行者数を８４２万人としたとき，以下の選択肢の正誤を考えよ。
旅行者数推移（対前年比，単位％）
昭和６３年 123.4
平成 元 114.7
平成 ２ 113.8
1 昭和６３年の海外旅行者数は，昭和６２年と比較して１８０万人以上増えている
２ 平成元年には，海外旅行者数が１０００万人を超えた
３ 平成２年の海外旅行者数は，昭和６２年と比較して７０％以上増えている
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これらの正誤を，暗算で求められればＯＫ。ダメ！という人は，頭の体操だと思ってチャレンジしてみてください。
自分が講義をしていて受講者が最も驚くのは「資料解釈では％を分数に直せるようにしておく！」ことです。これがポイント，ということなのでしょう。
50％＝１／２，33％＝１／３，２５％＝１／４，20％＝１／５ までは当たり前として，問題はその後。
１／６は16.666・・・％だから，16％とか17％を見たら１／６として扱う
１／７は14.257・・・％だから，14％前後を見たら１／７として扱う
１／８は12.5％だから，12％とか13％を見たら１／８として扱う
１／９は11.111・・・％だから，11％を見たら１／９として扱う
あとは１／１１が9％とか，３／１３が23％とか，だいたいの数字の感覚を掴んでいればよい。野球が好きな人は打率の計算でおおまかな割合がわかっていると思いますが，
.231→13打数3安打 .182→11打数2安打
ということです。打数と安打の関係を分数にするだけなのです。
それでは，選択肢を見ていきましょうか。
１では「昭和６３年は昭和６２年より２３．４％増えた」と読みます。つまり昭和６２年を１３と考えるとき，昭和６３年が１６になったということ（増えた人数は３）。 ザックリ計算して，842万人÷16＝53万人と見積もったとして，増えた人数は53万人×3＝159万人にしかならないので，180万人には遠く及びません。よって×
２では「平成元年は昭和６３年より１４．７％増えた」と読みます。つまり昭和６３年を７と考えるとき，平成元年が８になったということ。
ザックリ計算して，842万人÷7＝120万人。平成元年の旅行者数は120万人×8＝960万人にしかなりません。1000万人までの残り40万人は842万人の5％弱に該当しますから，誤差の範疇を超えていますね。よって×
３では，１と２を組み合わせて考えます。昭和６２年の旅行者数は53万人×13＝約690万人。この数字より70％旅行者数が増えると，690×1.7＝約1170万人になる計算です。
平成２年の旅行者数は２より960万人と考え，1170万人になるには200万人の増加が必要です。この数字は960万人の20％強となりますから，13.8％の増加では到底届く数字ではありません。よって×
公務員試験で求められる割合の扱いはザッとこんな感じ。このくらいのスピード感でサクサクと見究めていく必要があり，本当に小数の計算をガリガリやっている余裕はないのです。
最後に，これを公務員試験対策用のテクニックと見るか，社会人になって数字を扱うときの常識と見るか。
プレゼンでは
「23％の人がとてもよいと答えた」
「13人に3人がとてもよいと答えた」
どちらがわかりやすいのでしょうか？
私はいつも後者を心がけるようにしています。
公立高校入試問題（数学）の正答率に衝撃・・・（５）
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2013年度 鹿児島県大問１ 問４ 正答率15.5％
下のグラフは，鹿児島県で受け入れた教育旅行（修学旅行等）の学校数と宿泊者数を示したものである。平成２３年に受け入れた学校数は，平成２１年と比較して何％増加しているか。ただし，小数第一位を四捨五入して答えること。
（正解は２７％）
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高校入試というよりは，公務員試験（資料解釈）の基本問題。中学生の段階でこれができないということは，そりゃ公務員試験対策講座が流行るわけだと納得。 どこが似ているかといえば，全く使用しないデータが掲載されていて解答者を戸惑わせよう（笑）としているところ。
宿泊者数は全く関係ない・・・。
解答は，いたってシンプルに 642÷506＝1.268 の計算をするだけ。つまり，平成２３年の学校数は平成２１年の１２７％になっているので，増加量は２７％
完全に小学生内容。方程式の文章題だと決めつけてxやyを使おうとして混乱したのか，本当に理解できていなくて空欄としたのか，宿泊者数に騙されたのか。
何にせよ，受験生の基礎学力が緊急事態であることを明らかにしたという意味では，出題者のファインプレーなのかもしれない。出題意図をぜひ伺ってみたいものだ。
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就活の面接中に姿勢が崩れるって・・・
面接官の99%が就活生の「姿勢」を評価に - 姿勢が崩れた瞬間も気になるオムロンヘルスケアとワコール..........≪続きを読む≫
高校で授業をしていると，生徒の「姿勢の崩れ」を強く感じることがある。
もちろん，朝から勉強したり体育で運動したりして，疲れていることは百も承知だが，授業が始まってからわずか５分で，
片ひじをつく（頬杖っていうのかな）
左腕を枕にして，机を頭で腕をサンドイッチにする
こんな生徒が数人でてくる。
特に１学期のうちは，授業中最もうるさく指摘することが「姿勢を正せ！」になることもしばしば。
本人たちは気づいていないと思うけれど，面接用に土壇場で姿勢を矯正しようとしてもおそらく無理。
正しい姿勢を維持できない
ことに本当の問題があるのだから。５分，１０分ならなんとかごまかせても，３０分とかになったらダメなんじゃないだろうか。たぶん気持ちの問題ではなくて筋力・体力の問題だと思っている。
中学・高校，そして大学と，誰からも指摘されてこなかったとしたらそれは悲劇。指摘されてきたにもかかわらず修正しなかったのであれば自業自得。勉強する姿勢って大事だよ。
「集中力がない人」と見られても仕方がないからね。
学校でも職場でも，姿勢の悪い人の存在は全体の士気に影響する。
それを気にする先生は口うるさく注意するが，職場では注意してもらえないだろうね。自分の席がなくなるだけなのだから。
公立高校入試問題（数学）の正答率に衝撃・・・（４）
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2011年度 北海道大問１ 問４ 正答率30.2％
２点（０，２），（６，０）を通る直線の式を求めよ。
（正解はy＝－1／3x＋2）
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２点を通る直線の式は，
（１）yの増加量／xの増加量で傾きを見つけ，傾きと１点からy切片を見つける
（２）y＝ax＋bに２点をそれぞれ代入し，aとbに関する連立方程式を解く
の２通りの解き方が一般的。
ただし（２）の解き方のみで突き進むと，直線のグラフと式が頭の中でリンクしなくなってしまうので要注意。ということで多くの進学塾では（１）を推奨しているはず。
だって，最終的な到達点を考えたら
・２点を通る直線の式は暗算で出せるようになって一人前
・三平方の定理との融合がポイントになるのだから，グラフの傾きから直角三角形を意識できるようにしておかないとダメ（私立中なら三角比のことまで視野に入れて）
だからです。 ところがですよ・・・，
公立中学はもちろんのこと，私立中学であっても（２）の解き方で「答えがあえばよい」というレベルの到達度を示してしまうところが少なくないのです。（２）というのは，公立中に通う数学を苦手とする生徒に対する緊急避難的解法でしかありません。
とりあえず連立方程式を作って解けるようにしておけば，定期テストくらいは何とかなるから
関数がチンプンカンプンになっている生徒には，こう言ってとりあえず作業手順として暗記させるわけです。
この正答率３０．２％とは，上記のような大人の手抜きの象徴でしかありません。
ちなみに， 私立中生で（２）の解き方をゴリ押しされている生徒には，毎年「せっかく高いお金を払って私立中に通っているのに，公立中の出来ない子向けの考え方で説明されているんだね，可哀想に」と，本当に話しています。みんなイヤーな顔をしますけど，必死になって（１）の練習をするからかわいいもんです。
これも「こわれた数学治します」の１つ。正しいフォームに改造しているわけです。
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