2014年度版「中学生でも解ける大学入試問題（数学）」その10

国立大学（前期）の入試問題がアップされ始めています。

今回は2014年度新潟大学（人文・経済・教育・農）の大問３から確率の問題を紹介します。

　Ａの箱には１から２０までの整数が１つずつ書かれた２０枚のカードが入っている。Ｂの箱には１から３０までの整数が１つずつ書かれた３０枚のカードが入っている。Ａ，Ｂの箱から１枚ずつカードを取り出し，取り出した２枚のカードに書かれた整数の和をＸとおく。このとき，次の問いに答えよ。

（１）Ｘが２の倍数となる確率を求めよ。

（２）Ｘが２の倍数であるが５の倍数でない確率を求めよ。

（３）Ｘが５の倍数となる確率を求めよ。

（４）Ｘが２の倍数にも５の倍数にもならない確率を求めよ。

　高校入試でも類題が出題（2001年立教新座）されており，高校入試のほうが設定が複雑という逆転現象が生じているテーマです。数え漏れのないように書き出す作業のみで突き進む問題ですから，中学生でも積極的にチャレンジしてください。

では，解答・解説です。

すべてのカードの取り出し方は20×30＝600（通り）あり，これらは同様に確からしい。

（１）Ｘが２の倍数になるのは，ＡとＢがともに偶数の場合・・・①，ＡとＢがともに奇数の場合・・・②

①，②はそれぞれ，10×15＝150（通り）あるので，求める確率は，(150＋150）／2＝1／2

（２）「２の倍数かつ５の倍数」は10の倍数であるから，（１）で求めた300通りから10の倍数となる取り出し方を引けばよい。

Ｘ＝10となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，9），(2，8），・・・(9，1）の9通り・・・③

Ｘ＝20となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，19），(2，18），・・・(19，1）の19通り・・・④

Ｘ＝30となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，29），(2，28），・・・(20，10）の20通り・・・⑤

Ｘ＝40となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（10，30），(11，29），・・・(20，10）の11通り・・・⑥

Ｘ＝50となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（20，30）の1通り・・・⑦

したがって，題意を満たす取り出し方は，300－（③＋④＋⑤＋⑥＋⑦）＝240（通り）となるので，求める確率は，240／600＝2／5

（３）Ｘが10の倍数となる60通りに加えて，

Ｘ＝5となる取り出し方は，（Ａ，Ｂ）＝（1，4），(2，3），・・・(4，1）の4通り

以下，同様に，

Ｘ＝15が14通り，Ｘ＝25が20通り，Ｘ＝35が16通り，Ｘ＝45が6通り

となるので，題意を満たす取り出し方は60＋60＝120（通り）　よって，求める確率は120／600＝1／5

（４）余事象で軽く求めましょう。ベン図を描いて目で点検することも忘れずに。

１－｛（１）＋（２）－（３）｝＝1／5