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長らく更新ストップしていましたが、また興味がわいてきたので
なにか書くかもしれません。
最近特に思うのは、数学世界のいろんな所で特異点があり、
それが1や0をきっかけにして色んな不可解な事が起こるという事で、、、
雑感ですがこれだけ数式で特異点があるんだったら
現実世界で特異点がないほうがおかしいんじゃないかと。
霊魂だとか精神とかのオカルトも科学的に無視できないファクターじゃないかと思うわけです。
もちろん解明は遥か先になるでしょうが、、、
なにか書くかもしれません。
最近特に思うのは、数学世界のいろんな所で特異点があり、
それが1や0をきっかけにして色んな不可解な事が起こるという事で、、、
雑感ですがこれだけ数式で特異点があるんだったら
現実世界で特異点がないほうがおかしいんじゃないかと。
霊魂だとか精神とかのオカルトも科学的に無視できないファクターじゃないかと思うわけです。
もちろん解明は遥か先になるでしょうが、、、
Wikipediaより
ゼロ除算に基づく誤謬
私の考えた仮説（UNIV＝0/0、NULL＝1/0）で.............①
この問題を考えていこうと思います。
ポイントは（0/0）*1 ＝ （0/0）*2 の部分で
仮説より0/0＝UNIV であるから
この次の式は
UNIV*1 ＝ UNIV *2
となる。ここで
「全ての数の集合（あらゆる値を同時にとる）という性質上、UNIVに対する数値操作は無視される」
と仮定すれば、........②
UNIV ＝ UNIV
となり1＝２となるようなパラドックスは成立しない。
このことは０乗算の不可逆性を裏付けるものだと考えられるが、
初期の記事 のEmpty数のように0乗算計算前の数値が保存されている可能性も否定できないと
私は考えていて、もし０乗算が復帰可能な数を導いているとすれば、
上記の仮定②は誤りになる。
こういう問題は今後の課題にしていきます。
ゼロ除算に基づく誤謬
ゼロ除算を代数学 的記述に用いて、例えば以下のように 1 = 2 のような誤った証明を導くことができる。
以下を前提とする。
このとき、次が成り立つ。
両辺をゼロ除算すると、次のようになる。
これを簡約化すると次のようになる。
私の考えた仮説（UNIV＝0/0、NULL＝1/0）で.............①
この問題を考えていこうと思います。
ポイントは（0/0）*1 ＝ （0/0）*2 の部分で
仮説より0/0＝UNIV であるから
この次の式は
UNIV*1 ＝ UNIV *2
となる。ここで
「全ての数の集合（あらゆる値を同時にとる）という性質上、UNIVに対する数値操作は無視される」
と仮定すれば、........②
UNIV ＝ UNIV
となり1＝２となるようなパラドックスは成立しない。
このことは０乗算の不可逆性を裏付けるものだと考えられるが、
初期の記事 のEmpty数のように0乗算計算前の数値が保存されている可能性も否定できないと
私は考えていて、もし０乗算が復帰可能な数を導いているとすれば、
上記の仮定②は誤りになる。
こういう問題は今後の課題にしていきます。
前回の記事
で導かれた
UNIV ＝ 0/0
NULL ＝ 1/0
について考えます。
上図は反比例 ｙ＝1/ｘ のグラフです。
ｘ＜＞0の場合については説明するまでもないですが、
問題はｘ＝0のときのｙの値でした。
これについて以前の記事 では
ｘ＝0のとき、ｙ＝NULL の値をとる と考えました。
実際にｙ＝1/ｘ （ｘ＝0）を解くと
1/0＝NULLとなって整合性がとれます。
次は傾き0の反比例グラフ ｙ＝0/ｘ についてです。
傾きが0になった反比例グラフはX軸、Y軸と完全に合致することを以前に述べましたが
冒頭の定義に基づいて式を解いて、この通りの結果が得られるか検証します。
まずｘ＜＞0の場合について
「既存のゼロ乗算の定義」に従うと、ｙ＝0/1ｘ となり
ｙ＝0ｘ
ｙ＝0
となります。（X軸と合致）
ｘ＝0の場合
ｙ＝0/0となるので ｙ＝UNIV （Y軸と合致）
こちらも整合性がとれています。
仮説UNIV＝0/0 、NULL＝1/0
は今の段階では正しいような気がします。
しかし以前の記事 のとおり、
1/0＝∞
となるので、
NULL ＝ ∞
となってしまうのですが、
現時点でそうとは言い切れない状態が想定されますので、
この点について追って検証していきたいと思います。
UNIV ＝ 0/0
NULL ＝ 1/0
について考えます。
上図は反比例 ｙ＝1/ｘ のグラフです。
ｘ＜＞0の場合については説明するまでもないですが、
問題はｘ＝0のときのｙの値でした。
これについて以前の記事 では
ｘ＝0のとき、ｙ＝NULL の値をとる と考えました。
実際にｙ＝1/ｘ （ｘ＝0）を解くと
1/0＝NULLとなって整合性がとれます。
次は傾き0の反比例グラフ ｙ＝0/ｘ についてです。
傾きが0になった反比例グラフはX軸、Y軸と完全に合致することを以前に述べましたが
冒頭の定義に基づいて式を解いて、この通りの結果が得られるか検証します。
まずｘ＜＞0の場合について
「既存のゼロ乗算の定義」に従うと、ｙ＝0/1ｘ となり
ｙ＝0ｘ
ｙ＝0
となります。（X軸と合致）
ｘ＝0の場合
ｙ＝0/0となるので ｙ＝UNIV （Y軸と合致）
こちらも整合性がとれています。
仮説UNIV＝0/0 、NULL＝1/0
は今の段階では正しいような気がします。
しかし以前の記事 のとおり、
1/0＝∞
となるので、
NULL ＝ ∞
となってしまうのですが、
現時点でそうとは言い切れない状態が想定されますので、
この点について追って検証していきたいと思います。
まずグラフｙ＝∞ｘ （ｘ＝0） について考えます。
前回の記事 より
∞ ＝ 1/0 であるとすると、
上記のグラフは
y＝（1/0）ｘ と変形できます。
また、以前の記事 より
このグラフは、
（ｘ＝0）のとき全集合UNIV
（ｘ＜＞0）のとき空集合NULL
を返す性質があると考えました。
すなわち、
ｘ＝0のとき （1/0）ｘ ＝ UNIV
ｘ＜＞0のとき （1/0）ｘ ＝ NULL
ｘに代入すれば
（1/0）*0 ＝ UNIV
（1/0）*1 ＝ NULL
となります。この結果から
UNIV ＝ 0/0
NULL ＝ 1/0
という結果が得られます。
つまりゼロ除算問題とは「ある数を0で割るとき、
元の数字が0であればUNIV、元の数字が0以外であればNULLが返る」
という結果が、既存の数式で認識できないという事象を表しているのではないでしょうか。
次の記事ではこの結論に対してグラフを使った検証をしていきます。
今回はある傾きの比例グラフと、その逆数の傾きのグラフを比較していきます。
上図は ｙ＝3ｘ と ｙ＝１/3ｘ のグラフです。
それぞれの傾き３と１/3は逆数の関係になっており、
２つのグラフはちょうどｙ＝ｘ（上図赤線）に対して線対称になっていることがわかります。
これを踏まえて、次の状態を考えます。
※ｙ＝∞ｘについてはこちらを参照
この図では、２つの青いグラフはそれぞれY軸、X軸と等しくなっています。
この状態は前の図と同じく赤いグラフ（ｙ＝ｘ）に対して線対称であるので、
２つのグラフの傾きは互いに逆数であるということになります。
つまり∞（無限）と0は逆数であるということになります。
このことから次の等式が成り立ちます。
∞ ＝ 1/0
0 ＝ 1/∞
「1を0で割ると無限になる」という古典的な考え方に到達してしまったことは複雑な気もしますが、
次の記事からこの２つの等式について検証していきたいと思います。
引き続き反比例のグラフについて考えたいと思います。
上図は y = a / x (a = 1) のグラフです。
今度はこの傾きaの値を小さくしてみます。
傾きa が0.1の場合です。
さらに小さくします。
傾きa が0.01の場合です。
ちょっとグラフの表示が見づらくなっていますが
傾きが小さくなるにつれ、グラフはほとんどX軸とY軸の上を
沿うような形になっていきます。
しかしそれでも（0.0）を通るわけではありません。
では仮に傾きaが0の値だった場合、反比例のグラフは
どういう形をとるのか？
グラフの変化の推移を見れば、傾き0の反比例のグラフは
このように、「X軸とY軸と完全に一致」した形状になると
予想できます。
このグラフの形状は以前の記事
と同じく、通常の数式では表せません。
（x=0 のとき、ｙはあらゆる数値を同時にとる）
そこで以前と同じように、このグラフを新しい考え方で
表記する方法を模索します。
［x = 0］ のとき y = UNIV
［x <> 0］ のとき y = 0
※UNIVは全集合を表す。
となるような傾きaの値とは、いったいどのようなものになるのか？
以前の記事 で考えた「Empty数」を使うと
a = Empty( UNIV )
ｙ = Empty( UNIV ) / 0 = UNIV
ｙ = Empty( UNIV ) / x = 0
で考えられるのかもしれない？
※Empty数を0以外の値で割ったときに0が返る、、、というのは
定義されている訳でもなく、少し強引な考え方だが、
もともとEmpty数は、「ある数に0かけて作られた『復帰可能なゼロ』」
なのだから、ある特別な条件下以外では0と置き換える事が
可能な存在なのではあるまいか？
またそうでなければ、現実世界での計算はすべて破綻してしまう。
あるいは、Empty数ではなく、そもそも「０」自体が、
0 / 0 = UNIV
0 / x = 0
という性質を持っているのかもしれない。
上図の青いグラフは、反比例 y = a / x ( a = 1 のとき) のグラフです。
赤いグラフは、比例 y = x のグラフです。
今回はこの青と赤の交点について注目します。
今の場合、交点の座標は（1.1）（-1.-1）です。
次は、青い反比例グラフの傾きaを4にしてみました。
曲線がだいぶ緩やかになってきました。
交点の座標は（2.2）（-2.-2）です。
さらに傾きaを9にしてみます。
さらに曲線は緩くなりました。交点の座標は（3.3）（-3.-3）
さらに傾きaを増加させれば、赤いグラフy=xとの交点も
どんどん0から遠くなっていくことが感覚的にわかります。
傾きaを調整すれば、２つのグラフの交点は、
赤いグラフ上を自由に移動できます。
しかし1箇所だけ謎のポイントがあります。
赤いグラフy=xは（0.0）の座標を通過しています。
反比例のグラフがこの座標（0.0）を通過するという事態は
あり得るのか？
これが今回の疑問です。
次の記事では、反比例の傾きaを０に近づけて
グラフの挙動を確かめたいと思います。
［補足］
上のグラフはｘ=1のグラフですが、
前回の「鍵つき数」が正しいという仮定があるとすると、
このグラフは同時に
y = Gate(0) ( x - c ) + b
であるということになります。 つまり、
y = Gate(0) ( x - c ) + b を展開するとx = c......①
になるわけです。
Gate数が実際にどんな意味を持っているのかは
この展開を実行していくと見えてくるような気がします。
y = a( x - c) + b をｘについて解くと
x = c - ( b + y ) / a
①の条件を満たすとすると
( b + y ) / a = 0
でなければならない
上記のグラフの場合は y=UNIV, a = Gate(0) なので
（ b + UNIV） / Gate(0) = 0
全集合UNIVに対する加算は無効だと考えると
UNIV / Gate（0） = 0
UNIV = Gate(0) * 0