数の状態２ 全集合UNIVの考察つづき

さて上のグラフは　ｘ=1 のグラフになります。
先の記事の横線を反時計回りに90度回転させればこうなるはずです。

しかし実際には y=a(x-c)+b の比例の式ではこの線を表現することができません。
傾きaがどれほど大きい数になってもグラフが完全に垂直になることはありません。
このグラフの式　x=1　からは、ｙという項がすっぽり抜けてしまっています。
これをなんとか　ｙ= ～～　という式に表せないでしょうか？

まずｘを左端から徐々に移動させて考えて見ます。
-4から出発したｘは、1に到達するまでどこにも点を打つことができません。
これは前の記事 で考えた「値をとらないNULL」状態だと言えると思います。

ｘ　＜　1　のとき　y＝NULL

ｘが1に到達すると、ｙは今度はあらゆる値を同時にとるようになります。
これが縦の直線です。
この状態を「全集合UNIV」と仮に名づけたいと思います。
これはNULLと全く逆の状態です。

X　＝　1　のとき　y＝UNIV

ｘが1を過ぎると、ｙは再びなんの値もとれなくなります。

ｘ　＞　1　のとき　ｙ＝NULL

縦のグラフをｙの式で表すと、まともな数字が出てこなくなってしまいました。
しかしだからといって式に表せないことにはならないと思います。
新しい数字を作ってしまえばいいではないですか。

つまり、ある特定の数に出会ったときのみUNIVを返し、それ以外の場合NULLを返す
特殊な数があればこの式を表現できます。
これをGate（K）と表記してみます。
Gateは門、引数Kは鍵という意味を込めてあります。
新しい関数Gate（K）は、Kを掛けたときUNIVを返し、K以外の数値を掛けたときNULLを返します。

（K=k のとき）　Gate（K） = UNIV
（K<>kのとき）　Gate(K) = NULL

すると冒頭の縦のグラフは

y = Gate(1) で表すことができます。

さらに前回のy = a(x - c) + b の式にこれを当てはめると、縦のグラフの傾きaは
Gate(0)となります。

縦のグラフの式を詳しく書くと
ｙ = Gate(0) ( x - c ) + b

つまり、比例のグラフをX軸方向に傾けて、ついにその線がX軸と平行になったとき
傾きaは1から加算され、限りなく大きい値になったのち、Gate（0）に達する
と表現できることになる？？のでしょうか。
だとすれば前回の記事でも触れたように
Gate(0)とは理想的な無限大と等しい存在になるのでしょうか？

数の状態２ 全集合UNIVの考察

次は比例のグラフについて考えます。
上図は座標（1,1）を中心とした比例 y = a(x-1) + 1 のグラフです。
難しいことを考えず、この線を時計回りに回転させたい場合
どうすればよいでしょうか？

これは傾きaを減らす事で実現できます。



傾きaを減らすとグラフは横に傾き、a=0になった時点で
完全に横倒しになります。このとき、グラフの見かけ上の式はy=1になります。
さらにaをマイナスにすればグラフは右回転します。
感覚的にも分かりやすい動作です。

では逆にグラフを反時計回りに回転させたい場合はどうでしょうか。



上図はa=99の場合のグラフです。
傾きaを増加させた場合グラフは左回転しますが、
原理上、aがどこまで増えてもグラフが縦の直線になることはありません。
計算してみれば当たり前のことですが、素朴に考えてみると
「X軸をまたいで回転できるグラフが、Y軸をまたぐ回転をすることができない」
というのが今の数学のルールです。

私はここに、感覚的に腑に落ちないものを感じます。

もしX軸をまたぐような回転動作ができるとすれば、
傾きaを増加させていけばグラフはY軸と平行になり、
やがてY軸を超えて回転します。

このとき傾きaは無限大の大きさになり、
その後マイナス無限大から０に向かって動きます。
この変化はタンジェントのグラフの動きを思い起こさせます。
やはりプラスとマイナスは無限大という特殊な部分でつながっていると
想像したくなります。

この話は長くなってしまったので次の記事で書きます。

数の状態１ 空集合NULLの考察

これは反比例のグラフ　y=a/x　です。
グラフのY軸に対応する点はありません。
このグラフを学校で習ったときは、「ｘ=0のときｙは値をとらない」と教わりました。
ｘ=0　だとy=a/0 になってしまい0の割り算が出てきてしまうからです。

逆を言えば0の割り算とは、「値をとらない状態」だと定義することが
できないでしょうか？
この特定の値をとらない状態に
「空集合：NULL」という名前を与えて考えていきたいと思います。

a / 0 = NULL

と仮に定義します。

補足

ゼロ除算の式[x / 0] に0/0を掛けると
（x * 0） / (0 * 0)

[Empty(x) = x * 0] 前記事① から

Empty(x) / Empty(0)

すなわち

x / 0 = Empty(x) / Empty(0)

つまりEmpty同士は約分可能？

Emptyも何らかの『数』なのか？

ゼロの式の展開をしてみる

0での割り算ができない最大の理由は、
「０に何を掛けても0にしかならない」から。
つまり　[x　*　0　＝　0]である。

だが本当にそうなのか？
１や２などの実数は、普段の生活に置き換えて想像することができるが
0という数を直接的に経験することはできない。

箱の中にみかんが２つ入っていて、１つを取り出して食べる。
残りのみかんは１個だ。
では残りの１個も取り出して食べたら何個になるのか？
箱の中のみかんは0個？　　0個って一体なんなのか？
我々はこれを「みかんが無い」という文章に自動的に置き換えている。
だが、みかんが無い　イコール　みかんが0個だと本当に言い切れるのか？
0という概念が何なのか、実はまだ全然わかっていないのではないか？
もしこれが解明できれば、ひょっとしてとんでもない事になるのではないか？

私は　[x　*　0　＝　0]の式に疑念を抱いている。
この式を適用すれば、どんな数字でも0を掛けた瞬間に
0になってしまい、元の情報を失ってしまう。
いったん0になってしまうと元のxが何だったのか全く分からない。
これは基本的な計算ルールから逸脱していると思うのだがどうなのか。
x　*　0　は0ではないと思うが、それが何なのかは分からない。
x * 0はあるひとつの数ではなく、なんらかの処置を行なえば元のxを
復元できるようなものになっているはずではないか？
つまりxの情報はどこかに残っているという事だ。
この未知の数字に対しEmptyという仮の名を与えて考えてみたい。
Emptyのどこかにxの情報が残っているはずだとすれば
Empty(x)という事になる。

ためしに[Empty(x) = x * 0]　.......①としてみた。

これを展開してみる。
ちなみに私は0の四則演算を信用していないので、
0を代数的に扱いたい。

xについて解くと [x = Empty(x) / 0]...........②
0について解くと[0 = Empty(x) / x]...........③

なにやらすごそうなのができたが、まだ今イチ確認がとれない。
①ができたことでゼロ除算が理論的に可能な事が早くもわかってしまったのか？？

詳細は改めて追っていきたい

ゼロの定義は間違っているのではないか

現時点でたまっているアイデアを晒してみます。

まず「ゼロの定義」を疑うことから考えました。

計算ルール上では「ゼロの割り算」がいけないのだ、という説明がなされています。
しかし私はこれに異議を唱えてみたい。
『ゼロの割り算が問題なのではなく、現在のゼロの定義が間違っている、もしくは
　不完全なため、割り算の際に支障が出る。
　ゼロの定義は不完全ではあるが大部分は正しく、割り算以外の処理では不具合が出ない。』
としたら、どうか。

現状ゼロに関する常識として
●x　+　0　＝　x
●x　-　0　=　x
●x　*　0　＝　0
●x　/　0　=　？？？？
このような四則演算の原則があります。
しかし果たしてこれは本当に正しいのかどうか？
ゼロという概念に未知の部分があり、我々がその性質に気づいていない
ということはじゅうぶんにあり得る事だと思います。特に３番目の
x　*　0　＝0　
が非常に怪しい。　左辺の「0」と右辺の「0」は本当に同じものなのか？
この式のせいで0関連の計算が不可逆的になってしまい、
0除算も不可能になってしまうし、0という数字だけがルールの適用できない
例外になってしまう。

しかし上記の原則で数学の世界の秩序が成り立っている訳だから
既存の数字の分野ではこの状態で齟齬をきたさないのだろう。
しかしそれはただ単にゼロの定義の不完全な部分が
顕在化していないというだけの事ではないだろうか？

私の推測では、この0の原則のなかには、結果的に消滅してしまう項があり、
その項を式に入れずに省略してしまうために、結果的に除算ができなくなっている、
という事だと今は考えています。
詳しい式の展開は別の記事に書きます。

はじめに

この記事を読んでいる皆さんも、学校で三角関数というものを
習ったことがあると思います。
サイン(sin)、コサイン(cos)、タンジェント(tan)のアレです。
三角関数
タンジェントのグラフ

私はこの三角関数のタンジェントのグラフを見たときの違和感が
忘れられませんでした。
ふつうグラフというのは線が連続的につながっています。
しかしタンジェントのグラフはそうではありません。
タンジェントのグラフはy軸に無限大に大きくなった後、
数値のとれない謎の空白を経て
突如マイナス無限大から現れ0に戻ります。
そしてこれを周期的に繰り返します。

私は、これが何か重要な意味を含んでいるように思えてなりませんでした。
タンジェントのグラフはまるで上端と下端がつながっているように見えました。
もし本当につながっているのなら、無限大という場所はプラスでもマイナスの
間を行き来できるような特別な場所だという事にならないでしょうか？
「プラスでもマイナスでもなく、両者の間を行き来できる所」は0しかありません。
グラフに表せない所にもうひとつの「0」があるのではないか？
私はそう思いました。

しかしこのポイントを実際にグラフで表す事はできません。
この場所の点の位置を決めるためには、１を0で割るという計算が必要になります。
0での割り算は計算ルールの御法度であり、「計算してはならない」
という事になっているからです。
確かに、0にどんな数をかけても0にしかならないため、
0の割り算は計算する事ができません。
しかし本当に計算できないのでしょうか？　私は違うと思います。
それを解決するためのアイデアを私は思いつきました。
0の割り算が破綻なく説明できるようにもしなれば、タンジェントのグラフのみならず
色々な分野で画期的な進展があると思います。
憶測にすぎませんが、特に量子力学とゼロの割り算が
深い関係にあるように思えてなりません。

私は数学の専門家ではありません。
学問は好きでも学校が嫌いだった私は高校に入ってから勉強をボイコットし、
数学の知識はいまでも高校生くらいのレベルです。もちろん大学も出ていません。
私はこの記事を見てくれた知識ある方々に、このアイデアを
検証してもらうためにこのブログを開設しました。
私の書く数式はおそらく稚拙なものになるでしょうが、
その点についてはご容赦願いたいと思います。

もちろんまだ結論は出ていません。
時間あるときとアイデアがまとまったときに更新していくつもりです。