Webで数学！ユークリッドの互除法

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回はユークリッドの互除法についてです。

前回、完全数をメルセンヌ数の結びつきを論じたのは、
紀元前3世紀の古代ギリシャの数学者：ユークリッドだと
お話ししました。

ユークリッドは、幾何学の父と呼ばれており、
古代ギリシャ数学を代表するユークリッド原論の
著者でもあります。

ユークリッド原論は、1巻から13巻まであり、
平面図形の性質、
面積、
円と多角形、
比例と図形、
数論、
無理量論、
立方体と体積、
多面体、
などから構成されており、
幾何学だけでなく多岐にわたっています。

この中に互除法という最大公約数の算出方法があります。
最大公約数とは
２つ以上の整数に共通する約数の中で最大のもの。

互除法の計算式は、

　A　÷　B　＝　C・・・D

　B　÷　D　＝　E・・・F

　D　÷　F　＝　G・・・H

　F　÷　H　＝　I・・・J

　H　÷　J　＝　K・・・L
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
と計算していき、
　　　　　　・　　　
　　　　　　・
　J　÷　L　＝　M・・・N

　L　÷　N　＝　O　（←割り切れました！）

と必ず割り切れるときが出てきます。
この割り切れたときのNがAとBの最大公約数になります。

では、
数Aを１１８８、数Bを６３０としたとき
をみていきましょう！
　
　１１８８　÷　６３０　＝　１・・・５５８

　　６３０　÷　５５８　＝　１・・・・７２

　　５５８　÷　　７２　＝　７・・・・５４

　　　７２　÷　　５４　＝　１・・・・１８

　　　５４　÷　　１８　＝　３　（←割り切れました！）

数Aを１１８８と数Bを６３０の最大公約数は１８になります。

このように簡単に確実に最大公約数を算出する方法を
ユークリッドの互除法といいます。

二千年以上前にこのような解法があったとは愕きますね。
古代の数学者たちに敬意を表したいと思います。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！完全数とメルセンヌ数

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は完全数とメルセンヌ数についてです。

たとえば私の好きな数「２８」は完全数であると
お話ししましたね。

完全数とは、
　自身を除くすべての約数の和が自身と等しい数で、

　　　　６＝１＋２＋３
　　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４
　　４９６＝１＋２＋４＋７＋８＋９＋１０＋
　　　　　　　１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
　　　　　　　　　　１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋
　　　　　　　２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋
　　　　　　　　　　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１
　などがありました。

完全数を掛け算の形に書き換えると
　　　　６＝２^１×３
　　　２８＝２^２×７
　　４９６＝２^４×３１
　８１２８＝２^６×１２７
となっていて、
すべて２の何乗×素数で表わされていることがわかります。

このときの素数に注目すると
これも前に登場したメルセンヌ数と共通する部分があります。

メルセンヌ数は、
　　　　M = 2ⁿ - 1 
の形をした数で、
　　　　M = 2^１ - 1　＝　   １
　　　　M = 2^２ - 1　＝　   ３・・・素数
　　　　M = 2^３ - 1　＝　   ７・・・素数
　　　　M = 2^４ - 1　＝　１５・・・素数でない
　　　　M = 2^５ - 1　＝　３１・・・素数
　　　　M = 2^６ - 1　＝　６３・・・素数でない
　　　　M = 2^７ - 1　＝１２７・・・素数
　　　　M = 2^８ - 1　＝２５５・・・素数でない
となっていて、３，７，３１，１２７が共通していますね。

では完全数をメルセンヌ数の形式に書き換えるとどうでしょう？
　　　　６＝２^１×３　　　＝ 2^2-1 ・（2² - 1）
　　　２８＝２^２×７　　　＝ 2^3-1 ・（2³ - 1）
　　４９６＝２^４×３１　　＝ 2^5-1 ・（2⁵ - 1）
　８１２８＝２^６×１２７　＝ 2^7-1 ・（2⁷ - 1）

このようにすべての偶数の完全数はメルセンヌ数と
結び付いています。

これを論じたのは、
紀元前3世紀古代ギリシャの数学者：ユークリッドでした。
そしてオイラーが登場した18世紀になってようやく
証明されたのでした。

まさに数のロマンですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！正四角形の描き方

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は正四角形の描き方ついてです。

小学校の算数ではコンパスを使って
正多角形を描く授業があります。

正多角形とは、
すべての辺の長さ、すべての角の大きさが等しい多角形のこと。
正三角形、正四角形、正五角形、正六角形・・・
と無限に続きます。

コンパスでまず、
　①　円を描く

　②　１本目の半径を書く

　③　正四角形の場合、１周３６０度を４等分するように
　　　２本目、３本目、４本目の半径を書く

　④　半径と交わる円周上の点を結べば、
　　　正四角形のできあがり

このように小学校では習いますね。

では、コンパスや分度器を使わずに
A4のコピー用紙に四角形を描きなさい。。。　
と問題が出た場合、みなさんはどうしますか？　　　

そんなときは迷わず、
紙を折りたたんでみてください。

　①　A4のコピー用紙を四分の一に折りたたむ

　②　ペンやシャーペンなど先が尖ったもので
　　　一点に小さな穴をあける

　③　紙を広げる

　④　四点の穴を直線で結ぶ

長方形の完成です。
４辺の長さを統一すれば正方形になりますね。

今回は頭の体操でした。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！循環する小数

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は循環する小数についてです。

前回、6桁の１４２８５７という循環数が
実際に回る仕組み、
数を回すために１～６までの数字をかけることを
お話ししました。

　１４２８５７　×　１　＝　１４２８５７　
　１４２８５７　×　３　＝　４２８５７１　
　１４２８５７　×　２　＝　２８５７１４　
　１４２８５７　×　６　＝　８５７１４２
　１４２８５７　×　４　＝　５７１４２８　
　１４２８５７　×　５　＝　７１４２８５　

今回は、回る小数についてです。
自然数１４２８５７は「回す」でしたが、
小数は「回っている」状態のことをいいます。

分数　１　を小数で表わすとき、
　　　３
計算式：　１　÷　３　としますね。
答えは、０．３３３３３３３３３３３３...　と続きます。

分数　  ７ 　は、
　　　２２
計算式：　７　÷　２２　としますね。
答えは、０．３１８１８１８１８１８１...　。

このように割り算の答えが割り切れずに続くとき、
同じパターンの数が無限に繰り返される小数のことを
循環小数といいます。

でもこんなに長い桁をずっと書き続けるのは大変だし、
あまり意味もありませんね。

ですから循環小数には書き方が決まっているのです。
　　　・
　０．３　　　＝　０．３３３３３３３３３３３３...
　　　　・・
　０．３１８　＝　０．３１８１８１８１８１８１...

のように繰る返し現れる数のうえに「・」をつけます。

ポイントは3ケタ以上の繰る返しがある倍です。
　　　・　・
　０．８２３　＝　０．８２３８２３８２３８２３...　

この場合は繰り返される最初の数と最後の数に
「・」をつけます。

では、どんな分数の時に循環小数が現れるのでしょうか？

例を見ていきましょう！

分子が1の場合
　１　１　１　 １ 　 １ 　 １ 　 １ 　 １ 　 １ 　 １ 　
　３　５　７　１１  １３  １７  １９  ２３  ２９  ３１
分母の数に見覚えがありませんか？
よくみると分母は全て奇数であることがわかります。
そしてこれらの数は素数になっているではありませんか。。。

ここでまたまた素数の登場となりましたね。
次回もお楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！Googleの満月？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回はGoogleの満月？についてです。

今日は満月そしてスーパームーンと言うことで、
月に関するお話です。

Googleに隠しコマンドという
裏技的な検索があるのをご存知でしょうか？

では試しに、
Googleの検索窓に「斜め」と入力して
検索してみてください。
英語で”tilt”や”askew”としても同様に
画面が斜めになりましたね。

今度は「一回転」で検索！
”do a barrel roll”と英語で検索してもOK!
本当に画面が一回転します。

では本題、
”once in a blue moon”で検索してみてください。
　once in a blue moon =1.16699016 × 10^-8 ヘルツ
という謎の計算式が現れましたね。

これは一体何のことでしょう？

”once in a blue moon”とは、
「めったにない」
「稀なこと」
「ありえないこと」をあらわす慣用句。
ブルームーンを見ることは難しいので、
このように英語の慣用句になったと言われています。

ではここで謎の計算式、
1.16699016 × 10^-8 ヘルツを計算してみましょう。
これは、1秒に0.0000000116699016回という意味。

満月はほぼ1ヶ月に1度の割合で訪れるので、
1年に12回程度あります。
わたしたちのカレンダーは太陽暦なので、
お月さまの周期の太陰暦よりも1年の日数が
11日ほどおおくなっています。
その11日が徐々につみ重なるため、
13回目の満月がある年があります。
この13回目の満月をブルームーン（青い月）と呼ぶのですが、
謎の計算式は、
13回目の満月、ブルームーンの出現割合を算出する数字。
19年間に7回割合でブルームーンが現れるということで、
　0.0000000116699016　×　19　≒　７
謎の数字に期間をかけると回数が導き出されてきます。

計算によると、
次のブルームーンは2016年5月21日ということです。

今日のスーパームーンを楽しんだあと、
来年5月を楽しみに待ちたいものですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。