Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。
Webで数学、
今回は完全数とメルセンヌ数についてです。
たとえば私の好きな数「２８」は完全数であると
お話ししましたね。
完全数とは、
自身を除くすべての約数の和が自身と等しい数で、
６＝１＋２＋３
２８＝１＋２＋４＋７＋１４
４９６＝１＋２＋４＋７＋８＋９＋１０＋
１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋
２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋
２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１
などがありました。
完全数を掛け算の形に書き換えると
６＝２１×３
２８＝２２×７
４９６＝２４×３１
８１２８＝２６×１２７
となっていて、
すべて２の何乗×素数で表わされていることがわかります。
このときの素数に注目すると
これも前に登場したメルセンヌ数と共通する部分があります。
メルセンヌ数は、
M = 2n - 1
の形をした数で、
M = 2１ - 1 ＝ １
M = 2２ - 1 ＝ ３・・・素数
M = 2３ - 1 ＝ ７・・・素数
M = 2４ - 1 ＝ １５・・・素数でない
M = 2５ - 1 ＝ ３１・・・素数
M = 2６ - 1 ＝ ６３・・・素数でない
M = 2７ - 1 ＝１２７・・・素数
M = 2８ - 1 ＝２５５・・・素数でない
となっていて、３，７，３１，１２７が共通していますね。
では完全数をメルセンヌ数の形式に書き換えるとどうでしょう？
６＝２１×３ ＝ 22-1 ・（22 - 1）
２８＝２２×７ ＝ 23-1 ・（23 - 1）
４９６＝２４×３１ ＝ 25-1 ・（25 - 1）
８１２８＝２６×１２７ ＝ 27-1 ・（27 - 1）
このようにすべての偶数の完全数はメルセンヌ数と
結び付いています。
これを論じたのは、
紀元前3世紀古代ギリシャの数学者：ユークリッドでした。
そしてオイラーが登場した18世紀になってようやく
証明されたのでした。
まさに数のロマンですね。
