Webで数学！無理数と平方根

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は無理数と平方根についてです。

数の呼び方をご紹介したときに
無理数についても少し触れましたが、
今回はもう少しつっこんだお話です。

無理数とは、循環しない無限小数のことで、
　　・ 
　　・ （円周率）
が無理数であるとお伝えしていました。

無理数に対する数を有理数と言いますが、
有理数と無理数を合わせた実際に存在する数を
実数と言います。

実際に存在する数：実数を表わすときに、
分数の形で表現できるものを有理数、
分数の形で表現できないものを無理数というふうに
分類します。

m,nという整数が存在するとき、
　　m
　　n　　※n≠０
という形では表わせない数が無理数です。

前回ご紹介した二倍の正方形ですが、
この二倍の正方形の一辺も無理数になります。

　
平方根の平方とは、
２乗するという意味です。
つまり、
２乗するともとの数になる数です。

この平方根にも有理数と無理数があります。
　√４　　＝　２
　√９　　＝　３
　√１６　＝　４
　√２５　＝　５
などは有理数です。
元の数が正の整数になっていますね。

また中学校で習ったことを思い出すと、
平方根が同じものについては足し算、引き算ができます。

このように計算の対象になるということで、
実際に存在する数だと実感できますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！正方形を二倍にするには？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は正方形を二倍にするには？です。

哲学者プラトンは「メノン」という書物の中で、
「徳」を教えられるかという議論をしています。

メノンは紀元前400年ころの書で、
その内容は対話形式になっていて、

「徳」を教えるという議論から
「知識」とはなんぞや？
と話しは発展して、
やがてソクラテスが
「知識とは既に知っていることであり、
学ぶとはそれを思い出すことに過ぎない」
と主張しはじめます。

それを実証するために
ソクラテスは貴族メノンの召使いの少年と
二人で対話していくのですが、
この対話の方法は「産婆術」と呼ばれ、
相手が既に持っている知識を引き出す
ソクラテスの問答方法として
哲学の世界ではよく知られています。

さて、前置きが長くなりましたが、
その二人のやり取りが今回のお話です。

ソクラテスは少年に
ある正方形を見せて、
「この正方形を二倍にしてごらん」と問いかけます。

はじめ少年は、
辺の長さを二倍にすればよいと答えますが、
これでは面積が4倍になってしまうことがわかります。
次に少年は、
辺の長さを１倍半にすればよいと訂正しますが、
それも違うことがわかり、
もうわからないとあきらめてしまうのです。

そこでソクラテスは、
もとの正方形を4つならべて、
さらに対角線を引いて少年にヒントを与えます。

すると少年は、この↑図のななめの正方形が
求めていた元の正方形の二倍になっていることを
理解しました。

これで、
この少年のもともと持っている知識が
ソクラテスによって引き出されたことが
証明されたと言うのですが、
紀元前にこのような家庭教師的方法で
数学が口伝されていたというのは面白いですね。

一本の対角線がヒントになるようなことは
現在の私たちの身の回りにもありますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！２×５の計算

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は２×５の計算についてです。

前回、分数　→　小数　の変換は、
　分数の分子　÷　分数の分母　＝　小数
で、２から１０までの自然数を分母に持つ分数は、
　１
　２　　＝　０．５

　１
　３　　＝　０．３３３３３３３・

　１
　４　　＝　０．２５

　１
　５　　＝　０．２

　１
　６　　＝　０．１６６６６６６・

　１
　７　　＝　０．１４２８５７１・

　１
　８　　＝　０．１２５

　１
　９　　＝　０．１１１１１１１・

　 １ 
　１０　＝　０．１
となり、
誤差なく理論通りに正確に1に戻る数と、
戻らない数があることを学びました。
そして、
電卓では誤差なく表示させることができないことも
わかりましたね。

今回は、これらの数の特徴について
調べていきたいと思います。

前回、分数を約分するときに素因数分解を使うことを
お話ししましたが、
２から１０までの自然数を分母に持つ分数にも
この素因数分解を応用してみましょう。

素因数分解には「エラトステネスのふるい」を用いるのが
便利だと思います。

２から１０までの自然数を素因数分解すると、
　　　２＝２，
　　　３＝３，
　　　４＝２^２，
　　　５＝５，
　　　６＝２×３，
　　　７＝７，
　　　８＝２³，
　　　９＝３^２，
　　１０＝２×５
となります。
これを分数に当てはめると、
　　　１　　　１
　　　２　＝　２

　　　１　　　１
　　　３　＝　３

　　　１　　　１
　　　４　＝　２^２ 

　　　１　　　１
　　　５　＝　５　

　　　１　　　１　
　　　６　＝２×３ 

　　　１　　　１
　　　７　＝　７

　　　１　　　１
　　　８　＝　２³

　　　１　　　１
　　　９　＝　３^２

　　　 １ 　　１　
　　　１０＝２×５
となり、
正確に1に戻るほうの分母のすべてが、
２と５からできていることがわかりました。

これは私たちの生活に一般的に使われている数は
１０進数ですね。
その１０進表記の基準となる数は１０です。
数１０は２×５で、２と５からできているのです。

次回はさらに具体的なお話です。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！電卓の誤差

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は電卓の誤差についてです。

前回、分数　←→　小数　の変換に便利な電卓を使って
計算してみました。

そのとき、
理論上は元の数に戻るにもかかわらず、
電卓を使うと元の数には戻らない分数があることが
わかりました。

これは一体どういうことか？？？
が今回のテーマです。

　１
　２　の場合は　１　÷　　２　＝　０．５　だったので
　　　　結果の数０．５に２をかけると
　　　　　０．５　×　　２　＝　１　　　　　
　　　　1に戻りましたね。　　
では、
　１　　　　　　　　　　　　　　　  　
　３　の場合は　１　÷　　３　＝　０．３３３３３３３・・・
　　　　で　
　　　　　０．３３３３３３３・・・　×　　３　
　　　＝　０．９９９９９９９・・・
　　　　1に戻りませんでした。

理論通りに正確に1に戻る数と、
戻らない数があるようですね。

最初に答えを言ってしまうと、それは
「電卓の誤差」の問題です。

この誤差は、
無料の電卓アプリを使っているからではありません。

どんなに精度の高いスーパーコンピュータを使っても
わたしたちはこの「誤差」の問題から逃れることはできません。

今回、
理論上のなるべき数１、これを真の値といいますが、
この数1に対して、電卓では、
　０．９９９９９９９
を表示しました。

この誤差が生じる原因は、
実際の数は無限のアレフゼロであるのに対して、
電卓のケタ数は有限であるというところでしょうか。

このような論点も宇宙の数学が解明されると
スッキリとした証明ができるのかもしれませんね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！電卓を使ってみよう！

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は電卓を使ってみよう！です。

前回、分数と小数のお話しで
分数は
分母、分子ともに数に意味があり、
小数は
計算に便利で、大小比較にも優れている、
とご紹介しましたね。

どちらも私たちの身の回りにあって、
なじみのある表記方法ですから、
　分数　←→　小数　
の相互変換が簡単にできるといいですね。

そこで活躍するのが「電卓」です。
電卓は卓上型、パソコンやスマホのアプリなど
身近にあって便利なツールのひとつです。

分数　→　小数　の変換は、
　分数の分子　÷　分数の分母　＝　小数

　１
　２　は　　１　÷　　２　＝　０．５

　１
　３　は　　１　÷　　３　＝　０．３３３３３３３・・・

　１
　４　は　　１　÷　　４　＝　０．２５

　１
　５　は　　１　÷　　５　＝　０．２

　１
　６　は　　１　÷　　６　＝　０．１６６６６６６・・・

　１
　７　は　　１　÷　　７　＝　０．１４２８５７１・・・

　１
　８　は　　１　÷　　８　＝　０．１２５

　１
　９　は　　１　÷　　９　＝　０．１１１１１１１・・・

　 １ 
　１０　は　１　÷　１０　＝　０．１

となりますね。
見事に、割り切れる数と割り切れない数に分かれています。
割り切れない数は、
電卓の表示ワクいっぱいに数字が並んでいますね。

では、
　１
　２　の場合　１　÷　　２　＝　０．５　だったので
　　　　結果の数０．５に２をかけると1に戻りますね。
　　　　　０．５　×　　２　＝　１　　　　　
　　　　この式が成立しました。　　
今度は、
　１　　　　　　　　　　　　　　　  　
　３　の場合　１　÷　　３　＝　０．３３３３３３３・・・
　　　　で　
　　　　　０．３３３３３３３・・・　×　　３　
　　　＝　０．９９９９９９９・・・
　　　　となりこの計算では1に戻りませんでした。

それはなぜでしょう？

次回、電卓の2回目をお楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。