Webで数学！アルキメデスの墓には・・・

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
アルキメデスの墓には・・・です。

アルキメデスは
紀元前287年～212年、
古代ギリシャの数学者、物理学者で天文学者。
シシリア島のシラクサで生まれ、
75年の生涯のほとんどを
生地で過ごしたといいます。

第二次ポニエ戦争の戦時下、
ローマ軍がシラクサに攻めてきたとき、
アルキメデスは
地面に円形を描いて
思考を巡らせていたといいます。

ローマ兵士の一人が
その円を踏みつけたところ、
アルキメデスはたいそう怒って、
「私の描いた円を壊さないでくれ！」
と言ったところ、
兵士は激高して持っていた剣で
アルキメデスを殺してしまいました。

後に、
偉大な数学者のアルキメデスを
殺害してしまったことを悔いた
ローマ軍が彼の墓を建てたといいます。

その墓には、
アルキメデスの業績をたたえて、
殻が好んだ数学的証明が題材として選ばれ、
同じ径と高さを持つ「球」と「円錐」が
デザインされました。

こんな風なお墓だったわけですね。

では問題です。

無念にも戦争の犠牲となってしまった
アルキメデスを偲んで・・・

このお墓のモニュメントである
円柱、
内接する球体、
円柱と底面が共通で高さも等しい円錐について、
体積の比を求めてください。


答え：
円周率:πとします。
球の半径をrとすると、
円柱の高さhは2rになりますので、

　h＝2r　　

を代入します。


　円柱の体積　＝　π r² h　＝　π r² 　×　2r　

　　　　　　　＝　２π r³

　球の体積　　＝　４π r³
　　　　　　　　　３

　円錐の体積　＝　１π r² h　＝　１π r² 　×　2r　
　　　　　　　　　３　　　　　  ３

　　　　　　　＝　２π r³
　　　　　　　　　３

　では、これを比に置き換えてみましょう。

　　円柱　：　　　球　　：　　　円錐

　２π r³　：　(4/3)π r³　：　　(2/3)π r³

　　　　　↓

　　２：　(4/3)　：　(2/3)　

　　　　　↓

　　６：４：２

　　　　　↓

　　３：２：１

きれいな数字になりましたね。
これでアルキメデスの供養になりますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！星型多角形は・・・

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
星型多角形は・・・です。

ラングランズ・プログラムの中でも
ご紹介しましたが、
数学の研究分野のひとつに
幾何学があります。

幾何学とは、
「図形」の性質について研究する分野です。

中学・高校で数学を学ぶとき、
　・代数
　・幾何　
に教科書が分かれているので、
イメージしやすいと思います。

日本では小学校5年生で
円と多角形の概念を学びます。

多角形とは、
３本以上の線で囲まれた平面図形のこと。
線の数によって
　三角形、
　四角形、
　五角形、
　六角形、

　　・
　　・
　　・
となります。

その多角形のうち
形が星型になるものを
星型多角形と言い、
正多角形の
　・五芒星
　・六芒星
やエニアグラムは、
数学の範囲を超えてさまざまなところで登場し、
親しまれているようです。

五芒星は、
一筆書きの星型としてよく知られており、
かの陰陽師：安倍清明が魔よけの呪符として使った
とされる形です。
陰陽道の基本概念である「陰陽五行説」では、
火・木・土・金・水の５つの働きを表わしたものとして、
象徴として使われていたようです。
また、
ピタゴラス教団のシンボルマークもこの形でした。

六芒星は、
二つの正三角形を逆にかさねた形で、
イスラエルの国旗や
わが西宮市のシンボルマークになっています。

エニアグラムは、
円周を９等分して作図された図形です。
性格論からこの図をご覧になった方も
多いのではないでしょうか？

数学としての幾何学からは分離して、
独自の発展を遂げた星型多角形。

わたしたちに
どんなメッセージを送っているのでしょうか？

それも
ラングランズ・プログラムの研究が進むと
明らかになることに期待しています。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！量子物理学とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
量子物理学とは？です。

昨日ご紹介したラングランズ・プログラムを
けん引してきた
ハーバード大学のエドワード・フレンケル教授の
研究分野の一つに「量子物理学」があります。

量子物理学とは、
量子力学とも呼ばれており、
ふしぎな、
なぜだかわからない、
あやしい、
難解すぎる、
といった形容詞とともに紹介されることが多いようです。

では、
何がどのように不思議なのか、
そして不可解で怪しいのかを
みていきましょう。

その原因は、
量子物理学が、
物理的な意味のわからない
抽象的な数式を出発点にしているからだと
芝浦工業大学の木村教授は指摘しています。

ではその抽象的な数式とは、
どんなものなのでしょうか？

量子物理学を数学的にとらえると
その特徴は「球体」なのに対して、
相対性理論などの古典的な物理学では
「四面体」で表わされるのだといいます。

それぞれのイメージは・・・

球体は、
まるい形。

正四面体は、
正三角形が４枚、６辺、４頂点からなる立方体。
　　　


です。

つまり、
物体をパーツに分解したとき、
その基となる物の形状が
量子物理学と相対性理論では違っているのです。

出発点から異なっているので、
2つの理論は平行線のまま、
交差することはありません。

しかし近年では、
量子物理学を
物理的な原理から始めるという研究が
行われるようになり、
情報技術への応用が期待されています。

フレンケル教授は
「現代数学の至宝は、
　人々の目に触れないところに隠されている。
　だから人々は数学を、
　退屈で興味が持てないものだと感じてしまうのだ。
　それはあたかも美術の授業で、
　ダ・ビンチやゴッホの作品を
　ただの一度も見せずに、
　壁にペンキを塗る方法を
　延々と教えられているようなものだ。
　そんなことで楽しめるはずがない！」
といっています。

数学と量子物理学が統一され、
ふしぎな、
なぜだかわからない、
あやしい、
難解すぎる、
といった形容詞が使われなくなる日も
そう遠くはないかもしれませんね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ラングランズ・プログラムとは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ラングランズ・プログラムとは？です。

ラングランズ・プログラムとは、
数学を統一するチャレンジプログラムのこと。

ロシア生まれのアメリカの数学者で、
ハーバード大学のエドワード・フレンケル教授は
このラングランズ・プログラムをけん引してきた人物です。

先月（2015年11月）、
NHK教育（Ｅテレ）では、
「数学ミステリー白熱教室」という番組が
放送されました。

その番組の中で、
フレンケル教授は
「数学とは何か？」を問いかけます。

そして、
数学にはいくつかの研究分野があり、
　・数論
　・調和解析
　・幾何学
などがその分野だといいます。


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ちなみに・・・

数論とは、
「数」とは何か？　を研究する分野。

調和解析とは、
「音」波の調和を研究する分野。

幾何学とは、
「図形」の性質について研究する分野。

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ラングランズ・プログラムは、
これらまったく異なる数学の研究分野を
互いにつなぎ合わせ、
統一しようというものなのです。


フレンケル教授は
これらの分野をつなぐ鍵となるのは
「対称性」と言われる概念だと説き、
幾何学分野の図形で見られるような
「対称」という概念を
数論や調和解析にも存在していて、
それがラングランズ・プログラムを理解するのに
もっとも重要だといいます。

実際、
360年近く解決できなかった「フェルマーの最終定理」は、
「数論」と「調和解析」に別分野をつなぐことによって、
解決されていますね。

この2つの異なる分野は
「対称性」という鍵によって繋がっています。
この研究にもっとも尽力したのが
二人の日本人数学者、
谷山豊氏と志村五郎教授で、
「フェルマーの最終定理」の解決に
このお二人の研究が不可欠だったといいます。


さらに、
フレンケル教授は
ラングランズ・プログラムを拡張させて、
数学の世界と物理学の世界をつなげようとしています。

抽象世界の数学と
現実世界の物理学が
これからどのように融合していくのか、
その推移を見守るとともに
私たちの住む宇宙の謎が解き明かされる日は
そう遠くないのでは・・・
との期待も胸に秘めていたいと思います。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！脱獄の計算

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
脱獄の計算についてです。

脱獄と聞くと、
iPhoneの裏技テクニックだと思われるかもしれませんが、
今回は
収容施設から脱走するという、
れっきとした脱獄を扱います。

収容所と言うところは、
世の東西を問わず、
あまり居心地のよいところではありませんね。

その施設には、
看守がいて監視されており、
夜には施設全体を見渡せるように
定期的にライトで照らされたり、
厳重な警戒態勢を敷いています。

そんな中で、
ある収容所に捉えれれた捕虜３００人が
一致団結して「全員脱走」を試みます。

しかし、
収容所の出口には
A,B,C３本のサーチライトがあり、
定期的に
　Aは３秒ごと、
　Bは４秒ごと、
　Cは５秒ごと、
それぞれ１秒ずつ照らします。
また、
１分ごとの最期の５秒は出口の前を看守がとおります。

問題：
上のような警戒態勢の中、
夜中の午前2時00分00秒から１秒間、
すべてのサーチライトが出口を照らし始めました。
一人の脱走に要する時間は２秒として、
脱走できるタイムリミットは１時間とすると、
３００人中、いったい何人が脱走できるのでしょうか？


答え:
ここでは最小公倍数を使います。

A,B,C３本のサーチライトは、
　Aは３秒ごと、
　Bは４秒ごと、
　Cは５秒ごと、
に１秒ずつ照らすので、
３秒、４秒、５秒の最小公倍数を求めます。

３，４，５を素因数分解すると、
　３＝３
　４＝２×２
　５＝５
　
最小公倍数は、
　　　３×２×２×５
　　＝６０
ですね。

ですから、
６０秒＝１分を
サーチライトの周期として考えます。
そして、
看守の方も１分ごとの周期でしたね。

では、ここからは線分図を使いましょう。

Aは３秒ごとに１秒ずつ
Bは４秒ごとに１秒ずつ
Cは５秒ごとに１秒ずつ
看守は１分の最期に５秒ずつ

になり、
一人の脱走に要する時間の２秒を確保できるのは、
１分間に5回あります。
上の線分図のブルーのところです。

１分間に５回が６０分あるのですから、
　５回　×　６０分　＝　３００
となり、
当初の計画通り３００人全員が脱走できます。

よかった！ほっ
＼(^_^)／

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。