Webで数学！和算の算木とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
和算の算木とは？です。

これまでも和算については、
さまざまな角度からご紹介してきましたが、
今日は和算に使用した「算木」を取り上げます。

算木は、
奈良時代に中国から伝わった計算道具で、
縦または横に木の棒を置いて数を表わしたり、
計算をしたりしました。

鎌倉時代後期になって
そろばんが使われるようになるまで、
算木が計算に使われていたといいます。

算木のサイズは、
３～１４㎝の直方体で、
材質は木製または竹製だったようです。

また、
赤・黒に着色して、
正負の数を表わすなど、
使い方のバリエーションも豊富だったようですね。

そして、
計算範囲は四則演算にとどまらず、
代数方程式までも計算できたのだとか…

今でいう「関数電卓」のようなものだったのでしょうか？

現在でも、
二次方程式や三次方程式の解法を
わかりやすく解説されている
大学の研究者がいらっしゃいます。

それほど、
使い方が多岐にわたる、
興味深い計算ツールなのでしょうね。

ちなみに、
易者さんが使う算木はこちらです。

計算に使う算木とは違って、
格式高いもののようです。


いずれにしても、
数や方位などを棒状の道具で表わすとは、
シンプルな発想だったのですね。

それが、
発展し、語り継がれて、
今日を迎えているとは！
歴史のロマンを感じますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！自然数を分類すると・・・

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
自然数を分類すると・・・です。

いままで、さまざまな側面から
「素数」についてお話ししてきましたね。

自然数は素数の積によって分類され、
　　・１、
　　・素数（２．３．５．７．１１・・・）

　　・合成数（４．６．８．９．１２・・・）
という分け方ができました。

では、
自然数の約数についてみてみましょう。

約数とは、
ある数を割り切ることができる数、
つまりわり算で求められる数、
また、
倍数とは、
ある数の何倍かになっている数、
つまりかけ算で求められる数でしたね。

自然数の６は、
４つの約数（１，２，３，６）を持っています。
この約数をすべて加算すると、

　　１＋２＋３＋６＝１２

となり、
自分自身の２倍の数になっています。
ここから自分自身を除いたとき、

　　１＋２＋３＝６

自分自身に一致しますね。
このような性質を持つ数を完全数と言います。

完全数とは、
　自身を除くすべての約数の和が自身と等しい数で、

　　　６＝１＋２＋３

　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４

　４９６＝１＋２＋４＋７＋８＋９＋１０＋
　　　　　　１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
　　　　　　　　　１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋
　　　　　　２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋
　　　　　　　　　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１
があります。

しかし、
すべての自然数が
このように美しいかたちの完全数にはならないのです。

その場合、
過剰数、不足数という名前の数になります。

過剰数とは、
　自身を除く全ての約数の和が自身よりも大きくなる数で、
　　例えば２２０の場合、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　過剰数と呼びます。

不足数とは、
　自身を除く全ての約数の和が自身よりも小さくなる数で、
　　例えば２８４の場合、　
　　　１＋２＋４＋７１＋１４２
　　　＝２２０
　　　と結果が元の数より小さくなりますので、
　　　　２８４　＞　２２０
　　　不足数と呼びます。

また、
過剰数と不足数の関係において上の例のように
自身の約数の和がもう一方の数と等しくなるとき
２２０　２８４　のような一組の数を友愛数と呼びます。

この友愛数は、ピタゴラスが命名したとか・・・

数にも友情があるって面白いですね。

友愛数は他にも
　　　１１８４と１２１０
　　　２６２０と２９２４
　　　５１２０と５５６４
　　　　　　　・
　　　　　　　・
　　　　　　　・
があります。

数字の分類も、
新たな発見があるとワクワクしますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！マッチ棒パズル

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
マッチ棒パズルについてです。

頭の体操パズルといえば、
マッチ棒は外せませんね。

マッチ棒パズルとは、
指定された本数のマッチ棒を動かして、
式や形を完成させる問題です。

ではまず数式から・・・

問題①
マッチ棒を1本動かして、
次の式を正しい式にしてください。

どうでしょう？

これは意外に簡単ですね。

答え①

一目瞭然ですが、
「＋」記号の縦棒を「３」の左上に配置して
「９」にします。


それでは、
この問題もパズル本などでよく出てくる問題です。

問題②
ブタが道を歩いていました。
そこへ猛スピードで車が走ってきました。
かわいそうに、ブタはその車にひかれてしまいました。
では、マッチ棒2本を動かして、
車にひかれたブタにしてください。

どうですか？
ちょっとかわいそうな問題ですが…

答え②

とこのように
足の2本目を左上に、
足の3本目を右中央に尻尾として配置します。


それでは、最後に

問題③
父親が亡くなって4人の子供たちが
図のような土地を相続しました。
8本のマッチ棒を使って同じ広さ、
同じ形の土地に4等分してください。

かなりやっかいですね？
問題が土地の相続なだけに…

答え③
でも、こんなにきれいに解くことができます。

大きさと形が同じなら文句のつけようがありませんね。
兄弟姉妹仲良く相続してもらいたいものです。


頭の体操になりましたか？

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！素数の個数

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
素数の個数についてです。

「素数」とは、
１と自分自身以外には約数を持たない数でしたね。

素数を順序よく求める方法は知られていないけれど、
一番簡単に大量の素数を見つける方法は、
「エラトステネスのふるい」という方法を用いることでした。

エラトステネスのふるいは、
自然数をふるいにかけて素数と合成数にわける
という簡単な手法です。

その手順は以下になります。

①　奇数を昇順に並べて
　　　ふるいにかける数字リストをつくる
　　　（偶数は２で割り切れるので省く）

②　１は素数でも合成数でもない特別な数なので
　　　ふるいにかける数字リストから省く。

③　ふるいにかける数字リストの
　　　トップに位置する数を素数リストに移動して、
　　　その数の倍数をリストからふるい落とす。

④　③の作業をふるいにかける数字リストの先頭値が、
　　　ふるいにかける数字リストの最大数の平方根に
　　　なるまで続ける

⑤　④の用件を満たしたタイミングで
　　　残りの数を素数リストに移動する

これで素数を見つけることができます。
単純ですが根気のいる作業ですね。

具体的には、
１００までの自然数の中には、

　　　２，　３，　５，　７，
　　１１，１３，１７，１９，
　　２３，２９，
　　３１，３７，
　　４１，４３，４７，
　　５３，５９，
　　６１，６７，
　　７１，７３，７９，
　　８３，８９，
　　９７

の２５個の素数があります。

自然数は無限で終わりの数はないと
お話ししましたが、
この素数にも「これが最大の素数だよ！」
という数はありません。

現在知られている最大素数は、
2013年2月に発見された「2の57,885,161乗 - 1」
桁数はなんと1,742万5,170ケタだといいますが、
この数も現在証明されている最大の素数であって、
次の素数を見つけるための取り組みは始まっています。

そして、
素数は無限に存在するけれど、
大きくなるに従って、
次第にまばらになることがわかっています。

数の範囲と素数の個数は、
次の表の関係になります。

　　　　　　　　　数の範囲　　　　　　素数の個数
　　　　　　　　　　　１０　　　　　　　　　　４
　　　　　　　　　　１００　　　　　　　　　２５
　　　　　　　　　１０００　　　　　　　　１６８
　　　　　　　　１００００　　　　　　　１２２９
　　　　　　　１０００００　　　　　　　９５９２
　　　　　　１００００００　　　　　　７８４９８　
　　　　　１０００００００　　　　　６６４５７９
　　　　１００００００００　　　　５７６１４５５
　　　１０００００００００　　　５０８４７５３４
　　１００００００００００　　４５５０５２５１１

こうしてみると、
個数の規則性がはっきりとしてきました。

この規則性を「素数定理」といって、
数学者：リーマンによって示された
数学最大の難問なのです。

なんだかロマンを感じますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！四則演算の人気投票

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
四則演算の人気投票です。

みなさんにおなじみの四則演算は、
　加法（足し算：＋）
　減法（引き算：－）
　乗法（かけ算：×）
　除法（割り算：÷）
の計算方法ですね。

では、
具体的に数字を当てはめてみましょう！
今回は２つの数、７と３を使います。

　足し算：　７　＋　３　＝１０
　引き算：　７　ー　３　＝　４
　かけ算：　７　×　３　＝２１
　割り算：　７　÷　３　＝　２　余り　１
となります。

四則演算の加減乗除の結果を
　加法：和
　減法：差
　乗法：積
　除法：商
といいました。

ここまでは、
四則演算について簡単におさらいしてみました。


では、みなさんに質問です。
四則演算のどの計算が好きですか？

・・・

答えは、
　１位：足し算
　２位：かけ算
　３位：引き算
　４位：割り算
の順でした。

なんとなく理解できますね。


小学生の頃、
足し算はわりと苦なく授業についていけましたが、
引き算ではちょっとてこずったような記憶があります。

日本では、
九九を「暗記」するので、
その苦しい一時期を超えると
かけ算も比較的容易にできるようになります。

そして、
最下位の割り算は
今でもなんとなく避けたいような、
見たくないような、
そんな計算ですよね。

その理由は、
計算結果にあるといわれています。
　加法は和、
　減法は差、
　乗法は積、
と単純なのに対して、
　除法は商と、場合によっては「余り」が出ることがあります。
この「割り切れない」ことが、
私たちを割り算嫌いにしているのです。

加減乗除は、
　加算　←→　減算
　乗算　←→　除算

と、逆計算の関係にあります。


先の例を見てみると、

　割り算：　７　÷　３　＝　２　余り　１

は、

　かけ算：　２　×　３　＝　６　＋　１　＝　７

となり、
逆計算が成り立つのですが、
余りがあるため、
それを加算しなければならず、
ひと手間多く計算しなければなりません。

それが、
ほとんどの人を
「めんどくさい！」
と思わせてしまっているのですね。

しかし、
「割り切れない」ときの
「余り」には、
ひみつが隠されているとしたらどうでしょう？

「えっ？秘密？」

そうなんです。
これから、
少しずつその秘密についてお話していきますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。