Webで数学！不思議数とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は不思議数とは？についてです。


不思議数とは、
自然数の中で過剰数でありながら、
疑似完全数ではない数字のこと。

まずは、
数字の呼び方から・・・

自然数とは、
　正の整数で１，２，３，４，５・・・

過剰数とは、
　自身を除く全ての約数の和が自身よりも大きくなる数、
　　例えば２２０の場合、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＋１１＋２０＋
　　　　　　　　　　　２２＋４４＋５５＋１１０
　　　＝２８４
　　　と結果が元の数より大きくなりますので、
　　　　２２０　＜　２８４
　　　過剰数といいます。

疑似完全数とは、
　自身を除くいくつかの約数の和が自身と等しい数で、
　　例えば４０の場合、
　　　約数１，４，５，１０，２０を選ぶと
　　４０＝１＋４＋５＋１０＋２０
　　と元の数に等しくなるので
　　疑似完全数といいます。

疑似完全数は、
合成数（素数ではない数）で、
すべての完全数と過剰数から構成されています。

完全数とは、
　自身を除くすべての約数の和が自身と等しい数で、

　　　６＝１＋２＋３
　　２８＝１＋２＋４＋７＋１４
　４９６＝１＋２＋４＋７＋８＋９＋１０＋
　　　　　　１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋
　　　　　　　　　１６＋１７＋１８＋１９＋２０＋
　　　　　　２１＋２２＋２３＋２４＋２５＋
　　　　　　　　　２６＋２７＋２８＋２９＋３０＋３１
　などがあります。

以上、
おさらいでした。


さて、
不思議数ですが…

その条件は、

　①　過剰数である

　②　疑似完全数ではない

でしたね。

では、
数７０の場合を考えてみましょう！

　①　自身を除く約数の総和は、
　　　１＋２＋５＋７＋１０＋１４＝７４　＞　７０
　　　で過剰数。

　　　　　↓

　　　条件①クリア

　②　約数１、２、５、７、１０、１４を
　　　どう組み合わせて和を求めても
　　　元の数７０に等しくならないので
　　　疑似完全数ではありません。

　　　　　↓

　　　条件②クリア

従って、
７０は不思議数です。


今度は、
数２０の場合を考えてみましょう！

　①　自身を除く約数の総和は、
　　　１＋２＋４＋５＋１０＝２２　＞　２０
　　　で過剰数。

　　　　　↓

　　　条件①クリア

　②　約数１、２、４、５、１０から
　　　約数１，４，５，１０を選ぶと
　　　２０＝１＋４＋５＋１０
　　　と元の数２０に等しくなるので
　　　疑似完全数です。

　　　　　↓

　　　条件②はあてはまらない

従って、
２０は不思議数ではありません。


・・・とこのようになります。


不思議数は無限に存在していて、
最小数は、７０。

今、
わかっている数は、
　　　　　７０，
　　　　８３６，
　　　４０３０，
　　　５８３０，
　　　７１９２，
　　　９２７２，
　　１０４３０，
　　１０５７０，
　　１０７９２，
　　１０９９０，
　　１１４１０，
　　１１６９０，
　　１２１１０，
　　１２５３０，
　　１２６７０，
　　　　・
　　　　・
　　　　・
があり、
奇数の不思議数はまだ発見されていないということです。


不思議数、
なんだか謎めいた数ですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！速度・距離・時間の関係

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回は速度・距離・時間の関係です。


ドライブやサイクリング、
ウォーキングのときなどに
進む距離から
だいたいの時間や
どのくらいのスピードかを
知りたい時ってありますよね。

では、
小学校時代を思い出しながら・・・


ある距離をある時間、進んだときの速度は、

　速度　＝　距離　÷　時間


ある距離をある速度で進んだときの所要時間は、

　時間　＝　距離　÷　速度


ある速度である時間で進んだときの距離は、

　距離　＝　速度　×　時間


・・・で求められますね。


では問題です。

　↓　↓　↓

レイさんは、
３連休の初日に海へドライブに行くことにしました。
行きは時速６０㎞、
帰りは渋滞にかかってしまい時速２０㎞、
で進みました。
さて、
往復での平均時速は、なん㎞でしょう？


答え：
ひっかけ問題のようですが、

　６０㎞　＋　２０㎞　＝　８０㎞

　８０㎞　÷　２　　　＝　４０㎞

ではありません。

たとえば、
距離を６０㎞だと仮定してみましょう。

行きは、
時速６０㎞なので１時間
帰りは、
時速２０㎞なので３時間
かかります。

往復で１２０㎞の距離を
４時間で走ったことになりますので、

　１２０㎞　÷　４時間　＝　３０㎞

となり、
平均時速は３０㎞となります。


おとなになっても
ひっかかってしまいそうですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ゼロ０の使い方

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
今回はゼロ「０」の使い方です。

私たちが普段使うアラビア数字は、
　１　２　３　４　５　６　７　８　９　
の9個の数字から構成されていますね。

アラビア数字は
　漢数字　　（一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 ・・・）
　ローマ数字（Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ ・・・）
よりも計算に適しているので算用数字とも言われています。

算用数字の特徴は、
漢数字やローマ数字と違って、
「位どり」の概念があること。

その位どりに重要な役割をするのが
ゼロ「０」です。

ゼロ「０」の概念は、
紀元前400年ごろのメソポタミアにありました。
しかし、
6世紀ごろのインドで今のような使い方が発明され、
アラビア数字にゼロ「0」の概念が取り入れられたのは、
アラビアがインドを征服した8世紀ごろだと
言われています。

ゼロ「０」の使用方法については、
　①　アラビア数字で位どりのときの
　　　　　　　　　　　　「空き」スペース記号

　②　数字としてのゼロ「０」
　　　　　　　　　　「モノがないこと」の意味

　③　モノを測るときの基準
　　　　　　　　　「何かの基準」としての役割

がありましたね。

今回はそのうちの
①位どりの「空き」スペース記号
を使って、
次の問題を解いてみてください。


問題：
３桁の数字１００～９９９までを書くとき、
ゼロ「０」は全部で何個必要でしょうか？


答え：
まず、
３桁の数字１００～９９９の個数を考えてみましょう！

　　　　　１００
　　　　　１０１
　　　　　１０２
　　　　　１０３
　　　　　１０４
　　　　　１０５
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　９９６
　　　　　９９７
　　　　　９９８
　　　　　９９９

全部で９００個あります。

そのうち、
一の位がゼロ「０」になるのは・・・
全個数の10分の1ですね。
すなわち・・・

　　一の位：９０個

つぎに
十の位がゼロ「０」になるのは・・・
これも一の位と同様、
全個数の10分の1です。

　　十の位：９０個

では、
百の位はどうでしょう？
そうです。
百の位がゼロ「０」になることはありませんので・・・

　　百の位：０個

となり、

　　９０個　＋　９０個　=　１８０個

になります。

やっぱりゼロ「０」は、
私たちの生活になくてはならない
ありがたい存在ですね。

ゼロ「０」に感謝！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ボエティウスの四科

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
ボエティウスの四科についてです。

ボエティウスは、
ローマの貴族として生まれた哲学者。
ギリシャ語を理解する最後のローマ人と言われています。

彼は、
エウクレイデス、
ニコマコス、
プレトマイオス
などの著作と、
古代ギリシャの数学的科学をもとに
算術、天文学、幾何学、音楽の分野において
幾つかの書物を書きました。

この算術、天文学、幾何学、音楽を
「四科(Quadrivium)」といい、
調和を探究する学問として
多くの数学者、天文学者、哲学者が
今日まで研究を続け、
発展させてきたといいます。

この四科に
文法、
修辞学、
弁証論（倫理学）
の三科を加えた7学科を
自由七科といい、
中世ヨーロッパでは必須の教養課目とされました。

ローマ時代には、
自由七科のうえに哲学、
哲学のうえに神学
という学問体系になっていました。

その後、
ヨーロッパで大学が誕生してからも、
自由七科は大学教育の基本学問であり、
それがアメリカに伝わって発展しました。

自由七科は、
「人を自由にする学問」といわれ、
リベラル・アーツの語源になっています。

3学期も始まりましたが、
学生、生徒のみなさんも
数学を楽しく学んで、
自由な発想を身につけてもらいたいですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！数の石垣とは？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。


Webで数学、
数の石垣とは？です。

数の石垣(Zahlenmauern)は、
ドイツで研究された計算方法です。

石垣と言えば、
お城の石垣のように
巧みにサイズや形の違う石を積み重ねた
強固な土台のことですね。

数の石垣は、
ひとつひとつの石に数字を当てはめて、
隣り合う石の数字を足し合わせたものを
上段の石垣にするといったシンプルな計算方法です。

当てはめる数字によっては、
小学校の算数からから高校過程の数学まで
多様性を持った算法になります。

次の図のような
正の整数を使うと小学生向きに・・・

負の数を使うと
中学生向きに・・・

こうなると、
高校レベルになりますね。

この「数の石垣」は、
ドイツやスイスの
大学や教育現場でも用いられていて、
幅広く応用されているようです。

以前にご紹介した
パスカルの三角形とは、
逆転の発想ですね。

パスカルの三角形は　↓　↓　↓　

　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　１　１
　　　　　　　　　１　２　１
　　　　　　　　１　３　３　１
　　　　　　　１　４　６　４　１
　　　　　　１　５   10  10　５　１
　　　　　１　６　15　20　15　６　１
　　　　１　７　21　35　35　21　７　１
　　　１　８　28　56　70　56　28　８　１
　　１　９　36　84 126  126  84　36　９　１
　１　10  45 120 210 252  210 120  45　10　１

こちらもとてもシンプル！

①　頂上に１、その下に１，１と配置。

②　その下の段からは左右両端に１，１と配置。

③　ひとつ上の段の隣り合った二つの数を足して
　　結果を二つの数の真中に下段に書く。


どちらも
計算した答えを次のステップに応用し、
図を形どっていく
おもしろい数学ですね。

こんな楽しい授業だったら
子供たちも数学嫌いにはならないでしょうね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。