Webで数学！九章算術を現代数学にすると！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
九章算術を現代数学にすると！？です。

九章算術は、
中国最古の数学書で、
書名の通り9章から構成されているのでした。
今日は、各章を現代数学に置き換えた説明を簡単にします。

　①　方田章
　　　　主に年貢のための田畑の面積を測る計算。
　　　　長方形、三角形、台形、円の面積と
　　　　分数の計算を求める方法が書かれています。

　②　粟米(ぞくべい)章
　　　　交換比率が異なる商品を物々交換するための計算。
　　　　比例や比率を求める方法が書かれています。

　③　衰分(すいぶん)章
　　　　比例分配、利息、商品やお金の配分するの計算。
　　　　財産や金銭の配分を求める方法が書かれています。

　④　少広章
　　　　①方田章の逆バージョン。
　　　　面積、体積から一辺の長さを求める計算。
　　　　平方根、立方根と土地の測量計算を求める方法が
　　　　書かれています。

　⑤　商功章
　　　　体積や土石の量など土木工事に関する問題。
　　　　城、家屋、運河などの建設に関する計算を
　　　　求める方法が書かれています。

　⑥　均輸章
　　　　租税の計算。
　　　　複雑な比例計算を求める方法が書かれています。

　⑦　盈(えい)不足章
　　　　鶴亀算や同様の解き方をする複仮定法の解法。
　　　　多すぎること、少なすぎることを求める方法が
　　　　書かれています。

　⑧　方程章
　　　　ガウスの消去法による一次連立方程式の解法。
　　　　正負の数の計算と演算規則が出てくる。
　　　　未知数の連立方程式で求める方法が書かれています。

　⑨　句股(こうこ)章
　　　　直角三角形に関する問題。
　　　　ピタゴラスの定理や測量に関する計算方法が
　　　　書かれています。

先週お話ししたピラミッド、
その形は四角錐でした。

明日は、
①　方田章の内容に従って、
九章算術から「立方体」についてお話します。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！九章算術とは！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
九章算術とは！？についてです。

九章算術は、
中国最古の数学書。
3世紀半ばごろに「三国志」で有名な
魏の国の劉徽が関わったといわれていますが、
著者は不詳。
幾度も加筆修正されながら完成に至っています。

書名の通り9章から構成は、

　①　方田章
　　　　土地の面積を測る計算法を述べている。
　　　　長方形の面積から始まり、円形の面積に至る。
　　　　分数の加減乗除の詳しい説明がある。

　②　粟米(ぞくべい)章
　　　　穀物相互の交換を取り扱う、比例の問題である。

　③　衰分(すいぶん)章
　　　　差等をつけて分配する問題。比例配分である。

　④　少広章
　　　　方田章の逆。
　　　　土地の面積から一辺の長さを求める問題。
　　　　開平の計算の説明がある。

　⑤　商功章
　　　　土木工事に関する問題。
　　　　城垣を築いたり、
　　　　溝渠(こうきょ)を掘ったりする仕事に関連する。

　⑥　均輸章
　　　　租税として徴収される穀物を中央までの
　　　　距離の遠近によって調節する問題。

　⑦　盈(えい)不足章
　　　　盈は過剰の意。
　　　　盈不足すなわち今日の過不足算、
　　　　および同様の解き方をする複仮定法
　　　　（仮定法を二度使うやり方）による解法。

　⑧　方程章
　　　　二元あるいは三元の連立方程式を加減法で解く方法。
　　　　ここで正負の数の計算が出てくる。
　　　　正負の数の扱いとしては世界でもっとも古い。

　⑨　句股(こうこ)章
　　　　直角三角形に関する問題。
　　　　前半は相似三角形の解法、
　　　　後半は三平方の定理の応用である。

なっています。

九章算術の各章を現代数学に当てはめると、
高校数学のレベルに対応しています。

明日から詳しく説明します。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！マンデルブロ集合！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
マンデルブロ集合！？についてです。

マンデルブロ集合とは、
20世紀フランスの数学者：マンデルブロが導入した
幾何学の概念で、
海岸線やひび割れの形、
樹木の枝分かれなど、
複素数の集合で、
「どんなに拡大しても複雑な図形」のことをいいます。
また、
フラクタル図形としてはじめて
定式化された平面図で、
全体が部分の相似形になっています。

では前回の「パスカルの三角形」を使って、
フラクタル図形を描いてみましょう！

パスカルの三角形で表わされた数のうち、
偶数を白丸、奇数を黒丸で表わしてみます。

　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　１　１
　　　　　　　　　１　２　１
　　　　　　　　１　３　３　１
　　　　　　　１　４　６　４　１
　　　　　　１　５   10  10　５　１
　　　　　１　６　15　20　15　６　１
　　　　１　７　21　35　35　21　７　１
　　　
　　　　　　  　↓　↓　↓

　　　　　　　　　  ●
　　　　　　　　　● ●　　　
                         ● ○ ● 
                       ● ● ● ●
                     ● ○ ○ ○ ●
                   ● ● ○ ○ ● ●
                 ● ○ ● ○ ● ○ ●
               ● ● ● ● ● ● ● ●
              
規則正しい模様になりましたね。
特に
　　　　　　　　　  ●
　　　　　　　　　● ●　　　
                         ● ○ ● 
                       ● ● ● ●
の部分に注目すると、
上から4段目までと下から4段目までの左右に
同じモチーフが現れてきています。

全体が部分の複写になっている「フラクタル図形」の
特徴をよく表わしています。

パスカルの三角形ももっと拡大して、
フラクタル図形に展開すると素敵なモチーフになります。

規則に従って着色するときれいですね。
デザインに応用できると思います。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！三角形のふしぎ！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
三角形のふしぎ！？についてです。

昨日お話しした
エジプトのピラミッドは四角錐で
その一面は三角形をしています。

また、
正多面体の一つである正四面体も
その4面がすべて正三角形です。

数学という学問を研究する上で、
三角形はキーポイントになっているのだと思います。

「人間は考える葦である」と説いた
17世紀のフランスの哲学者・数学者の
パスカルもまた、
そんな三角形の魅力に気づいた一人です。

ところが彼は、
なんと30歳という若さでこの世を離れてしまうのです。

パスカルが80歳まで長生きしていたら、
数学界のみならず世界が変わっていたかもしれませんね。

パスカルは、
三角形に数字を組み合わせることで、
美しい規則性をもつ図形を発見しました。

パスカルの三角形というのですが、

　　　　　　　　　↓　↓　↓　

　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　１　１
　　　　　　　　　１　２　１
　　　　　　　　１　３　３　１
　　　　　　　１　４　６　４　１
　　　　　　１　５   10  10　５　１
　　　　　１　６　15　20　15　６　１
　　　　１　７　21　35　35　21　７　１
　　　１　８　28　56　70　56　28　８　１
　　１　９　36　84 126  126  84　36　９　１
　１　10  45 120 210 252  210 120  45　10　１

このように美しい形をしています。

並べ方はとてもシンプル！
①　頂上に１、その下に１，１と配置します。

②　その下の段からは左右両端に１，１と配置します。

③　ひとつ上の段の隣り合った二つの数を足して
　　結果を二つの数の真中に下段に書く。

この図形をよく見てみると、
　・左右対称になっている
　・左右両端からひとつ内側の数字は
　　　１，２，３，４，５、・・・と増えている
ということがわかります。

明日は、このパスカルの三角形の進化形をご紹介します。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ピラミッドのふしぎ！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ピラミッドのふしぎ！？についてです。

ピラミッドというと
エジプトのピラミッドを連想される方が
多いのではないかと思います。

エジプトでは、
紀元前3000年ころのエジプト初期王朝時代から
マスタバと呼ばれる長方形の巨大な建造物を
「墓」としてきました。

長方形の巨大な墓は、
その後、ピラミッドへと形を変えることになります。
第3王朝のファラオ：ジョセルが亡くなったとき、
宰相のイムホテプが
最初にピラミッドを建てた人物だといわれています。

ピラミッドの形は四角錐になっていて、
外観は・・・

展開図は・・・

となってます。

さて、
ピラミッドについては、さまざまな「謎」がありますが、
その中で注目したいのは「方向」です。

有名なクフ王のピラミッドは、
それぞれの角の方向が正確に東西南北を向いている
といいます。

計測技術が進化した現代では、
そんなに不思議なことではないのかもしれませんが、
古代ギリシャ時代に
精度の高い技術力が存在していたのか？
太陽や星の動きを参考にしたのだとすれば、
高性能の望遠鏡の代わりになるものがあったのか？
などの疑問が残ります。

また、
何のためにこのような巨大な建造物が必要だったのか？
それぞれのピラミッドの内部構造は一体どうなっているのか？

解明できていないことが多いです。

宇宙のことも
地球上のことも
その全体像は誰も分かっていません。

わたしたち人類の歴史上には
わからないことのほうが多いのかもしれませんね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。