Webで数学！数学記号の意味！？

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
数学記号の意味！？についてお話しします。

数学を学んでいくと、
独特の数の表わし方や記号を見つけることがあります。

基本的なところでは、
小学校で習う四則演算の加減乗除
　＋：加（足し算）
　－：減（引き算）
　×：乗（かけ算）
　÷：除（割り算）
がありますね。

もう少し発展すると、
　±：正又は負符号、加減算符号、
　　　プラスマイナス、加または減、複号、複符号
　∓：負又は正符号、
　　　マイナスプラス、減または加、複号、複符号
なんて記号も登場してきます。

私たちが一般的に計算で使う記号は他にも、
　＝：等号（とうごう）、イコール
　≠：等号否定（とうごうひてい）、等しからず、ノットイコール
　＜：不等号 [より小] 、小なり 、より小さい
　＞：不等号 [より大] 、大なり、より大きい
　≦：より小さいか又は等しい、小なりイコール
　≧：より大きいか又は等しい、大なりイコール
があり、
これらは新聞や雑誌、Web上でもよく見かける文字です。

こちらももう少し範囲を広げてみると、
＝：等号の仲間には、
　≡：合同（ごうどう）、常に等しい、同値
　≢：合同否定（ごうどうひてい）
　≒：ほとんど等しい、ほぼ等しい、ニアリーイコール
　≃：漸進的に等しい
　≅：同形
　≈：近似的に等しい
などがラインナップされます。

また、
＜：不等号の仲間には、
　≪：非常に小さい
　≫：非常に大きい
　≶：小さいか大きい
　≷：大きいか小さい
　⋚：小さいか等しいか大きい
　⋛：大きいか等しいか小さい
などがあります。

どの記号もその形と意味が視覚的にわかるようになっていて、
面白いですね。

でも最後の
　⋚：小さいか等しいか大きい
　⋛：大きいか等しいか小さい
は、
結局は「わからない」ということで、
どのような過程を経て記号化されたのかを
詳しく知りたい気持ちにさせられますね。

明日も、
記号の解説の続きです。

お楽しみに！

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！非ユークリッド空間について・・・

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
非ユークリッド空間について・・・です。

ユークリッド空間とは、
通常、私たちが意識している空間のことで
「まっすぐな空間」のことをいうのでしたね。
そして、
高校までの幾何学では、
このユークリッド空間をベースに展開しているとご紹介しました。

では、
この世にユークリッド空間ではない空間は存在するのか？
という疑問からはじめていきたいと思います。

ユークリッド原論では、
１～６巻の平面幾何学の項で
「まっすぐな空間」をユークリッド空間と呼んでいました。

ということは、

　ユークリッド空間　＝　まっすぐな空間

なので、
ユークリッド空間ではない空間「非ユークリッド空間」とは、

　非ユークリッド空間　＝　まっすぐでない空間

ということになりますね。

まっすぐでない空間として連想されるのは、
　・曲がった空間
　・ひずんだ空間
　・ゆがんだ空間
でしょうか？

曲がった空間では、
丸いボールの表面などが想像できますね。

例えば、
この丸いボールの表面に三角形を書いてみることにしましょう。

このように三角形は描くことができるのですが、
何かちょっと違うと感じませんか？

そうです。
三角形の内角の和です。

中学校の数学で
三角形の内角の和は１８０度であると
習いましたね。

ためしに、
丸いボールの表面に描いた三角形を取り出してみましょう。

あらあら、
こんな三角形になっています。

これでは、
三角形の内角の和は１８０度を超えてしまいますね。

このように、
私たちが普段、当たり前のように信じていたことが、
非ユークリッド空間では、成り立たないことがあります。

つまり、
幾何学を研究するうえでは、
どのような空間であるかを考える必要があるということです。

非ユークリッド空間とは、
常識を覆す面白さを秘めた空間です。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ユークリッド空間を考えると・・・

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ユークリッド空間を考えると・・・です。

ユークリッド空間とは、
通常、私たちが意識している空間のことで
「まっすぐな空間」のことをいいます。

数学においても
高校までの幾何学では、
このユークリッド空間をベースに展開しています。

さて、
ユークリッド空間のユークリッドとは、
紀元前3世紀ころの古代ギリシャの数学者です。

ユークリッドは、幾何学の父と呼ばれており、
古代ギリシャ数学を代表するユークリッド原論の
著者でもあります。

ユークリッド原論は、
今から約２０００年以上前に書かれた数学書で
聖書に次ぐロングセラーの書物です。

1巻から13巻で構成されていて、
１，２，３，４，５、６巻は平面幾何学、
　三角形の合同条件、
　ピタゴラスの定理、
　円と多角形、
などについて。

７，８，９巻は整数論、
　約数と倍数
　最大公約数と最小公倍数、
　素数、
　ユークリッドの互除法、
について。

１０巻では無理量論、
　無比線分の理論
について。

１１、１２巻は立体幾何と二重帰謬法（きびゅう）で、
帰謬法はのちにアルキメデスによって、
円錐の体積が円柱の体積の3分の1であることが
証明され、大きく発展します。

１３巻は正多面体論、
正多面体が５種類であることはすでに
プラトンが述べていますが、
これを作図して無比直線になるところまでが
記述されています。

１～６巻の平面幾何学から
「まっすぐな空間」のことをユークリッド空間と呼んでいます。

では、
この世にユークリッド空間ではない空間は存在するのでしょうか？

答えは、
「存在する」です。

その名も「非ユークリッド空間」！

あすは、

非ユークリッド空間についてご紹介しますね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！エルゴード理論

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
エルゴード理論についてです。

エルゴード理論とは、
与えられたシステムの時間遷移に関する
統計的平均的挙動を調べるための数学的な道具のこと。

　　時間平均　＝　集合平均

が成り立つ性質のことを言います。

これは、
統計力学のエルゴード仮説に数学的な基礎づけを与えた理論で、
扱う空間は離散的でも連続的でもよく、
時間も離散とも連続とも考えることが可能である。
考える空間にも制約はなく、
なんらかの大きさを測る概念があればよい。

統計的平均的な議論をするために重要なのは
大きさの概念：測度。
特に空間が有限の測度を持つ場合には、
正規化することでその事柄の生じる確率測度：確率である。

たとえば・・・
次のようなテスト結果があったとします。

　　　　　Aさん　 Bさん 　Cさん　　平均
１学期：　７６　　６７　　８２　　　７５
２学期：　６９　　８５　　７１　　　７５
３学期：　８０　　７３　　７２　　　７５
平均　　　７５　　７５　　７５

Aさん、Bさん、Cさんそれぞれが
１学期、２学期、３学期の平均点が同じ７５点になっています。

ではまず、
各学期でのテストの難易度を見てみましょう。
どの学期が一番難しいでしょうか？
　　↓　↓　↓　
これは判定できませんね。
見方を変えて、
年間を通じてみると「時間」の流れの中では、
「同程度」の難易度と言えます。

では次に、
Aさん、Bさん、Cさんの誰が一番良い成績だったと言えるでしょうか？
　　↓　↓　↓
これも判定できませんね。
それぞれの平均点が同じですから・・・

この例のように
　・時間が経過しても特徴である平均は変わらない
　・個人や場所が変化しても特徴である平均は変わらない
という性質を持っています。

こんなことって実際にあるの？
と疑問に思うようななことでも
「時間と空間における均一性」に遭遇することがあります。

コイントスについてみると、
　表の出る確率：２分の１
　裏の出る確率：２分の１
になります。
これに時間の観念を加えて、
繰り返し行うと

　　時間平均　＝　集合平均

になりエルゴールド理論が成立します。

わたしたちの身の回りにも
エルゴールド理論は存在しているのですね。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。

Webで数学！ランダムウォーク理論

こんにちは。
Webであなたの夢が叶う！のHirokoです。

Webで数学、
ランダムウォーク理論についてです。

ランダムウォーク理論とは、
株価の変動は「予測不可能」だということを
説明する理論として有名ですが、
現実の様々な現象の説明にも使える重要なモデルです。

以下のような現象や状況の説明にランダムウォークが登場します。

◆コイントス
　　コイントスを行い，
　　勝ったら1円もらえ，
　　負けたら1円失うようなゲームを繰り返し行う。

◆酔歩・乱歩（ランダムウォーク）

　　酔っぱらいが東西に伸びる一次元の直線を歩く。
　　ただし，単位時間あたり1だけ東に進むか西に進む
　　（それぞれ確率0.5）ことを繰り返す。


◆株価の変動
　　1日ごとの株価の変動。
　　株価の値動きは、
　　どの時点においても長期的にも短期的にも
　　「上昇と下降の可能性」がほぼ同じで
　　これらは独立した事象として捉えることができるため、
　　過去のデータを分析して将来の値動きを予測することは
　　不可能だということ。

◆ギャンブラーの破産問題
　　純粋で公平なランダムウォークを前提として、
　　ギャンブラーが破産するまで賭けを行った場合、
　　一方が勝つ確率はゲーム開始の持ち点に比例するというもの。
　　資金が少ないギャンブラーは、
　　資金力のある同元に勝つことはできないということである。

このように、
理論を説明されると、
株やギャンブルなんてできなくなりますね。

この世の中はゲームだと言った学者がいましたが、
それを裏付けるような理論が
このランダムウォーク理論なのかもしれません。

科学、数学、物理学、医学、
そして、
心理学、哲学、言語学・・・
様々な分野の研究がなされても
未だに解明できない究極の疑問があります。

それは、
私たち人間が一体何者であるかということ。

わたしたちは生活を営みながらも
日々、問題の探究に時間を費やしていくのでしょうね。

なかなか深い話です。

今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。