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エルゴード理論についてです。
エルゴード理論とは、
与えられたシステムの時間遷移に関する
統計的平均的挙動を調べるための数学的な道具のこと。
時間平均 ＝ 集合平均
が成り立つ性質のことを言います。
これは、
統計力学のエルゴード仮説に数学的な基礎づけを与えた理論で、
扱う空間は離散的でも連続的でもよく、
時間も離散とも連続とも考えることが可能である。
考える空間にも制約はなく、
なんらかの大きさを測る概念があればよい。
統計的平均的な議論をするために重要なのは
大きさの概念：測度。
特に空間が有限の測度を持つ場合には、
正規化することでその事柄の生じる確率測度：確率である。
たとえば・・・
次のようなテスト結果があったとします。
Aさん Bさん Cさん 平均
１学期： ７６ ６７ ８２ ７５
２学期： ６９ ８５ ７１ ７５
３学期： ８０ ７３ ７２ ７５
平均 ７５ ７５ ７５
Aさん、Bさん、Cさんそれぞれが
１学期、２学期、３学期の平均点が同じ７５点になっています。
ではまず、
各学期でのテストの難易度を見てみましょう。
どの学期が一番難しいでしょうか？
↓ ↓ ↓
これは判定できませんね。
見方を変えて、
年間を通じてみると「時間」の流れの中では、
「同程度」の難易度と言えます。
では次に、
Aさん、Bさん、Cさんの誰が一番良い成績だったと言えるでしょうか？
↓ ↓ ↓
これも判定できませんね。
それぞれの平均点が同じですから・・・
この例のように
・時間が経過しても特徴である平均は変わらない
・個人や場所が変化しても特徴である平均は変わらない
という性質を持っています。
こんなことって実際にあるの？
と疑問に思うようななことでも
「時間と空間における均一性」に遭遇することがあります。
コイントスについてみると、
表の出る確率：２分の１
裏の出る確率：２分の１
になります。
これに時間の観念を加えて、
繰り返し行うと
時間平均 ＝ 集合平均
になりエルゴールド理論が成立します。
エルゴールド理論は存在しているのですね。
今日も最後まで読んでいただいてありがとうございました。