整数a、b、cに対し次の条件を考える
。 （＊）a≧b≧０かつa2－b2＝c
（１）c＝２４、２５、２６それぞれの場合に条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。
（２）pは３以上の素数、ｎは正の整数、c＝４p2nとする。このとき、条件（＊）をみたす整数の組(a,b)をすべて求めよ。
（注）
a2→a×a
b2→b×b
正の→０より大きい
２ｎ→２×ｎ
４p2n→４と「pを２ｎ個掛け合わせた数」の積
「和と差の積＝２乗の差」（南山中学校女子部２０２４年算数第１問（４）の解答・解説を参照）を利用して約数のペアの議論に持ち込みます。
その際、偶奇性を利用すると簡単に処理できます。
偶奇性を利用する問題は中学入試でも昔からよく出されています（神戸女学院中学部２００３年算数第２問、南山中学校女子部２０２５年算数第７問など）
（１）の３問と（２）で同じことを繰り返し問うているだけで、簡単な問題です。
小学生の場合、（２）の指数の処理が若干難しいでしょう。
名大の受験生のレベルを考慮すると、pを単に素数とし、２とそれ以外の素数の場合分けを怠ったら減点するような問題でもよかったような気がします。
素数の問題では、２（唯一の偶数）と３（唯一の３の倍数）に常に注意を払うべきであって、中学入試でもそういうことが問われていますからね（南山中学校女子部２０２２年算数第４問（２））。
南女の好きそうな論点がちりばめられた問題なので、南女の受験生は、少なくとも（１）ぐらいはさっと解けるようにしておいた方がいいでしょうね。
因みに、a2－b2＝２０２６を満たす(a,b)はありません。
詳しくは、下記ページで。
名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（問題）
名古屋大学２０２５年理系数学第２問・文系数学第２問（解答・解説）
大阪星光学院の高校入試で（１）の数値が変わっただけの問題が出ているので、解いてみます。
（問題）
大阪星光学院高等学校２０２０年数学第１問（４）
ｘ2－ｙ2＝８０となる正の整数ｘ、ｙの組（ｘ,ｙ）をすべて求めると、（ｘ,ｙ）＝[ ]である。
（注）
正の→０より大きい
（解答・解説）
与えられた条件より、（ｘ＋ｙ）×（ｘ－ｙ）＝８０となります（和と差の積＝２乗の差の利用）。
（ｘ＋ｙ）＋（ｘ－ｙ）＝ｘ×２（偶数）だから、ｘ＋ｙとｘ－ｙの偶奇は一致します。
ｘ＞０、ｙ＞０だから、ｘ＋ｙはｘ－ｙより大きくなります。
８０の約数のペアがｘ＋ｙとｘ－ｙということですね。
最初に述べたことに注意すると（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（４０，２）、（２０，４）、（１０，８）となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（４０，２）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（４０＋２）/２＝２１となり、ｙ＝２１－２＝１９となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（２０，４）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（２０＋４）/２＝１２となり、ｙ＝１２－４＝８となります。
（ｘ＋ｙ,ｘ－ｙ）＝（１０，８）のとき、和差算を解くと、ｘ＝（１０＋８）/２＝９となり、ｙ＝９－８＝１となります。
したがって、(ｘ,ｙ)＝（２１，１９）、（１２，８）、（９，１）となります。
今回取り上げた問題は平方数－平方数の問題ですが、立方数－立方数の問題が京都大学などで出されています。
小学生の場合、因数分解はできないので、平方数－平方数の問題の場合、和と差の積＝２乗の差を利用したり、面積図をかいたりして処理することになり、立方数－立方数の問題の場合は、体積図をかいて処理することになります。
京大の（理系のほうの）問題（負の数の答えを排除したもの）が解けた小学生の教え子も過去に何人かいます。
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