３つの分数１９３５/１２９、４９８９/３４３、８９２９/５９３を小さい方から順に並べなさい。
分数の大小比較の問題です。
一見すると面倒そうな問題ですが、実際には面倒な計算は不要です。
３つの分数のうちどの分数に着目するかが最初のポイントとなります。
もっとも、この問題の場合、「何も考えない子」でも偶然うまくいく可能性があります。
「何も考えない子」の場合、分数を出てきた順に処理しますが、この問題の場合、たまたま、最初に出てきた分数に着目すればいいからです。
ただ、そういう子の場合、分数の並びを４９８９/３４３、８９２９/５９３、１９３５/１２９などとされると、まずいことになってしまいます。
きちんと考える子であれば、この並びであっても１９３５/１２９にまず着目します。
なお、解説にある大小比較の手法についてしっかり確認しておきましょう。
詳しくは、洛星中学校２０１６年前期算数第１問（２）の解答・解説で。
日本ジュニア数学オリンピック（JJMO)２０２５年予選の問題
今回は、日本ジュニア数学オリンピック２０２５年予選第１問を取り上げ、解説します。
正のというのは、０より大きいということです。
中学入試に出されても簡単な部類の問題で、小学生が解いても３０秒もかからないでしょう。
因みに、今年灘中を受験する教え子の一人に、今日の家庭教師の休憩時間中にお茶を飲みながら解いてもらったら、「２０２５は無理で、２０２５/３＝６７５は、６７５と６７５×２でオッケー」というように１０秒程度で解いていました。
さて、解き方を詳しく説明してみましょう。
ｍとｎの最大公約数を〇とし、ｍ、ｎをそれぞれ〇×△、〇×□（〇、△、□は１以上の整数で、△と□の最大公約数は１）とすると、ｍ＋ｎ＝２０２５だから、
〇×△＋〇×□＝２０２５
〇×（△＋□）＝２０２５
となり、〇と△＋□は２０２５の約数のペアとなります（ここまでしなくても、ｍとｎの最大公約数が２０２５の約数でないといけないことはすぐにわかるでしょう）。
最大の〇を求めるのだから、２０２５（＝４５×４５＝３×３×３×３×５×５）の約数のうち最も大きいものからチェックしていきます。
〇が２０２５の約数のうち最も大きいもの、つまり２０２５のとき、△＋□＝１となり条件を満たしません。
２０２５の約数のうち２番目に大きいものは２０２５/３＝６７５となりますね。
〇が６７５のとき、△＋□＝３となり、例えば、△＝１、□＝２とすれば条件を満たします。
したがって、答えは６７５となります。
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今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第４問を取り上げ、解説します。
下の問題例のように、中学入試で昔からよく出されてきた倍数と余りの問題です。
さて、JMOの問題を解いてみましょう。
２、３、４、５、６のそれぞれで割った余りがどの２つも異なる数は、６０（２、３、４、５、６の最小公倍数）個ごとに同様の繰り返しで現れるから、上の麻布中学校の問題の別解のように、６０個の整数を横に６個ずつ書き出して調べつくすこともできますが、ここでは少し頭を使って解きます。
余りの連動性を考慮し、２、４、６、３、５の順に余りを考えていきます。
とりあえず１以上６０以下の整数で条件を満たすものを求めることにします。
（あ）２で割った余りが０のとき（偶数ですね）
４で割った余りは０か２となりますが、０は使えないので、４で割った余りは２と確定します。
６で割った余りは０か２か４となりますが、０と２は使えないので、６で割った余りは４と確定します。
６で割ると４余る数は３で割ると１余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、０と２と４と１は使えないので、５で割った余りは３と確定します。
６で割ると４余る数は、自動的に、２で割った余りが０となり、３で割った余りが１となるので、結局のところ、６で割ると４余り、４で割ると２余り、５で割ると３余る数で６０以下のものを求めることになります。
この条件を満たすものに２をたす（いわゆる不足共通の処理（上で取り上げた問題の解説を参照）ですね）と、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－２＝５８だけですね。
（い）２で割った余りが１のとき（奇数ですね）
４で割った余りは１か３となりますが、１は使えないので、４で割った余りは３と確定します。
６で割った余りは１か３か５となりますが、１と３は使えないので、６で割った余りは５と確定します。
６で割ると５余る数は３で割ると２余るということが自動的に決まります。
５で割った余りは０、１、２、３、４のいずれかですが、１と３と５と２は使えないので、５で割った余りは０か４となります。
６で割ると５余る数は、自動的に、２で割った余りが１となり、３で割った余りが２となるので、結局のところ、６で割ると５余り、４で割ると３余り、５で割ると０か４余る数で６０以下のものを求めることになります。
まず、５で割ると０余る数のほうについて考えます。
６で割ると５余り、４で割ると３余る数に１をたすと、６でも４でも割り切れる数、つまり１２の倍数となるから、１２の倍数から１を引いた数のうち５で割り切れるもの（一の位が０か５のもの）を探すことになりますが、奇数の場合を考えているから、一の位が５のものを探すことになります。
１２の倍数から１を引いた数で６０以下のものを書き出していきます。
１１，２３，３５，・・・
のうち３５だけが条件を満たしますね。
次に、５で割ると４余る数のほうについて考えます。
この条件を満たすものに１をたすと、６でも４でも５でも割り切れる数、つまり６０の倍数となるから、６０－１＝５９だけですね。
（あ）、（い）より、１以上６０以下の整数の中に条件を満たすものが３５、５８、５９の３個あります。
１０００÷６０＝１６・・・４０だから、１以上１０００以下の整数の中には、条件を満たすものが３×１６＋１＝４９個あります。
今回は、日本数学オリンピック２０２５年予選第１問を取り上げ、解説します。
条件の厳しいところから考え、条件の対等性を利用するという場合の数の基本的な考え方がマスターできていれば小学生でも解けるでしょう。
中学入試で出されても何の不思議もありません。
まず、７個のマスについて分析します。
真ん中のマスは他の６つのマスと隣り合っていて、周りにある６つのマスはいずれも３つのマスと隣り合っていますね。
隣り合う２マスに書き込まれた整数の和が１０以下となるという上限があるので、１から７までの整数のうち１番大きい整数７にまず着目します。
７を書き込んだマスの隣のマスに書き込める整数は１、２、３のいずれかとなり、７を真ん中のマスに書き込むことはできず、周りにある６つのマスのいずれかに書き込むことになり、１、２、３は７を書き込んだ隣のマスに書き込むことになります。
条件の対等性より、７をピンク色のマスに書き込んだ場合を考え、６倍すれば答えが得られます。
黄色の３つのマスにそれぞれ１、２、３のいずれかの整数を書き込むことになり、水色の２つのマスと黄緑色のマスにそれぞれ４、５、６のいずれかの整数を書き込むことになります。
次に、２番目に大きい整数６に着目します。
６の隣に５を書き込むことはできず、６と５はそれぞれ水色のマスに書き込む（入れ替えを考慮すると２通りありますね）ことになり、その結果、黄緑色のマスに４を書き込むことになります。
このとき、黄色の３つのマスの数字の書き込み方は３×２×１＝６通りありますが、いずれの場合もすべての条件を満たします。
したがって、整数の書き込み方は全部で２×６×６＝７２通りあります。
図の太線はそれぞれ正八角形、正五角形、正三角形の辺を表します。図の角（あ）の大きさは[あ]°です。また、図の頂点Ｐと頂点Ｑを結んでできる角（い）の大きさは[い]°です。
前半の問題は、地道に角度を書き込んでいっても解けますが、最難関中学校の受験生であれば、解説のように、回転をイメージしてさっと解けないといけないでしょう。
こういう回転をイメージする解法は、多角形の内角の和、多角形の外角の和、平行線と角などについて初めて学んだときに取り組んでいればできることです。
後半の問題は、前半の問題と無関係です。
正五角形が全く関係ないと見抜けることがスタートラインです。
そのことが見抜けると正五角形を無視することができます。
最終的には、角度の基本問題でよく出される有名図形に持ち込めばすぐに解決します。
西大和学園中学校では、この有名図形に持ち込むとすぐに解ける問題が過去に出されています（２０２１年本校入試第３問（３））。
因みに、正三角形の一辺の長さを９cm、正三角形の一番左の頂点をＲ、正八角形の一番上の頂点のうち左側のほうをＳとすると、三角形ＱＲＳの面積は等積変形により三角形ＰＱＲの面積と等しくなり、９×（９×１/２）×１/２＝８１/４cm2となります（東海中学校２０２３年算数第７問のメインの問題（算数オリンピック２０１３年ファイナル第５問の数値が変わっただけの問題）の図形を正八角形にはめ込んで解くとこのようになりますが、ハードルが高いでしょう）。
詳しくは、西大和学園中学校２０２５年東京・東海会場算数第１問（２）の解答・解説で。
