調和数の積分表示とコンビネーションを用いた表現

調和級数(Partial sum of Harmonic series)の部分和は特別に「調和数("Harmonic number")」という名前が付けられているようです。

一般に、

として定義されているようです。

調和数には積分による表現とコンビネーションを用いた表現が見出されており、今回はそれについて紹介します。

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１、積分による表示

２、コンビネーションを用いた表示

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積分による表示については、以下の式

を用いて左の積分を計算すれば証明可能です。

この積分表示について、

という置換をし、

として　(1-u)^n を二項定理により分解して計算すると証明できます。

途中で

とするのがコツです。

積分やコンビネーションを用いて表現できるというのが興味深いところです。特に積分による表示はとてもシンプルにまとまっています。ただ、インテグラルやシグマを用いて表しているので初等関数のみで表現されているわけではありません。

オイラーの定数の意味と収束性

調和級数の部分和(過去の記事：https://ameblo.jp/mossalmon/entry-12320091570.html)を求める際にはオイラーの定数というものが出現します。

ここで、オイラー定数の図形的意味を考えてみると、

例えばn=3の時を考えてみると、

γは階段状の部分から1/xの面積を引いた残りの部分のことなので、

γはしたのピンクの部分の面積の総和になります。

ε_k はn≧4における緑の部分の総和の絶対値です。γで足しすぎた半月の分を引きます。nが無限大になると引く必要はないのでε_kは0です。

ここで、以下のような数列を定義すると、

γはn→∞のときの極限値です。

γが収束することを証明するには、

・a_nが単調に減少すること

・a_nが下に有界であること

を証明すればよいわけです。

証明については下のurlの内容を参照してください。

結果としてγは収束して

が得られますが、γの計算は非常に厄介で、γが有理数か無理数化さえわかっていません。

「調和級数の発散とオイラー定数」受験の月

http://examist.jp/mathematics/integration-expression/euler-teisu/

調和級数の初等関数による近似

1から100までの数字をすべて足すといくらになるか？という問いは有名な問題であり、小学生の時に1回は聞かれるものです。式を反対にして(100+99+…+1)足し合わせ、2で割って5050を得ることができます。

では、

この式を瞬時に計算することはできるでしょうか？上の問題のような計算はうまくいかず、簡単には計算できません。この計算を一般化してみます。

ここで、級数　  は調和級数と呼ばれるもので、上の式はそのnまでの部分和ということができます。調べたところ、驚くべきことにこの部分和の初等関数による表示は現在も確立されていないようです。初等関数による表示が不可能なのか、まだ計算されていないだけなのかはわかりません。

今回は、この調和級数の部分和について近似式を作ることができたので、紹介します。

まず、調和級数はグラフでは　y=1/x　に覆いかぶさるような形で存在しています。

そこで、下のグラフのようにy=1/xの部分(赤色）は積分で面積を求め、さらに上の三角形(青色）の部分を足し合わせて計算します。

まず、赤色の部分はy=1/x を1からn+1まで積分したものであるので、面積をs_1とすると、

次に、青色の部分の面積をs_2とすると、s_2は底辺が1、高さが合計 1-(1/(n+1))の三角形の面積の総和であり、

であるから、

となります。

つまり、調和級数の部分和の近似式として

が得られるわけです。

ここで、赤色と青色に挟まれた部分が真の値との誤差になってきます。この部分をどう処理するかは考え中です。

出来上がった近似式をもとにn=1から100まで計算してグラフにしてみました。グラフを見てみると、近似式によるグラフは調和級数とほぼ同様な形・値をとっていることが分かります。

さらに、(真の値)/(近似値)から、近似式の精度を計測してみます。

n=1のときのみ94.3%ですが、n=2になると95.5%となり、その後は精度が上がってやがて98%以上になります。

非常に単純な計算ではありますが、精度が95%を超えるので、近似としては悪くないのではないかと思います。

得られた近似式の持っているメリットとしては、

・初等関数による比較的簡単な式として表現できる

・連続関数として扱える

・滑らかな関数として扱える

などがあげられます。

ただ、グラフで計算に加えることができなかった部分（赤色と青色に挟まれた部分）について、

・この部分を三角形などで近似して計算に加えられないか？

・面積の和は収束するのか？（＝誤差は一定となるか？）

については課題があります。

一方で、調和級数の表現として、

というものがあります。ここで、γはオイラーの定数というもので、調和級数から1/xのグラフの1から∞までの面積をひいたものであり、

としてあらわされます。この値は収束して

という値になるようです。

ちなみに、この定数はガンマ関数との関連もあり、

の対数微分にz=1を代入して

とすることもできるようです。

さらに、ε_k はk→∞で0になる値で、変動するものですが微小な値です。

今回得られた近似式における 

は、オイラーの定数のような役割を担っていると考えています。

最初の質問に戻り、n=100のときの調和級数の部分和について、近似式によると

から、結果は約5,11であり、真の値

にたいして98.51%の精度で近似値を求めることができました。

追記：

誤差はn=1のときの半月型の部分を足してやることで大幅に解消されます。

このグラフのn=1において存在する半月型の部分です。以下「半月」と呼びます

半月の面積は3/4-log2なので、

このような形で定数を補ってあげると、式がやや煩雑にはなりますが、精度が上がります。

上のグラフのように、最も精度が落ちるn=3でも精度は99％を超えました(99.172%)。

99%から100%を拡大した詳しいグラフです。nが小さいほど誤差が大きいのが弱点なので、半月一個分を補ってやるだけで大幅に誤差が解消されます。

定数項を計算していくことで、さらに精度を上げていくことも可能になります。必要に応じて精度を変えていける点も魅力的です。

ただ、この半月の部分の面積の総和は一般化することが現状不可能であり（一般化できたら調和級数の部分和そのものが一般化できる）、手計算なりコンピュータなりを駆使して地道に求めていくしかないようです。

また、半月の面積の総和とn/2(n+1)の極限の合計はオイラーの定数に収束します。なので、先に誤差の集合体である(オイラーの定数 -1/2)を足すとよいのではないのではないかという話になります。

近似式にオイラーの定数を足して精度を計測してみます。

精度が大幅に上昇しました。もっとも悪いn=1のときで97.9637%、n=2では99.3893%となり、n=100でなんと99.99984%となります。これは非常に実用的なのではないでしょうか？

結論を示します。

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調和級数のnまでの部分和について、以下の近似式が成立する。

ただし、γはオイラーの定数0.57…である

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注記：

この文章で用いた「精度」は、100*(1-相対誤差)によって計算しています。相対誤差は、|近似値-真の値|/真の値です。

参考HP : 

「調和級数」 wikipedia

 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0

「オイラーの定数」 wikipedia 

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0

「調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明」 高校数学の美しい物語 https://mathtrain.jp/tyowa

「調和級数の部分和の式はないんですか」

yahoo!Japan 知恵袋 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11103253006

「相対誤差の計算方法と意義」具体例で学ぶ数学

https://mathwords.net/soutaigosa

伊豆七島 ～大島～

伊豆大島に行った時の話です。

伊豆大島には竹芝桟橋から東海汽船で竹芝桟橋からさるびあ丸に乗っていきました。写真は2等和室の様子です。和室というよりも大広間のような空間で、繁盛期はコンセントの取り合いになって大変ですが、閑散期は広々としていて1等にも勝るぐらい使い心地が良いです。

大島の港に着くとバスに乗ってホテルに移動し、そこで朝食を食べました。

今回は大島の三原山、裏砂漠コースを通ることにしました。

裏砂漠は日本で唯一の砂漠表記が用いられているそうで、荒涼とした風景は月面世界に喩えられます。確かにとても見晴らしがよく、利島の鬱蒼とした山とは対照的です。

三原山の山腹で霧がかかってきて、視界が急激に悪くなりました。数メートル先が見えず、また後ろも全く見えません。自分の人生のようです。とても心細い気持ちで歩いていきます。

何とか火口展望台に辿り着き、火口をのぞいてみましたが、御覧のありさまでした。

下山中に元町港が見えました。大型船用の桟橋、漁船用の岸壁、防波ブロックが見えます。

ここで帰りに登山口から港までのバスが通っているのですが、歩きで行ってみようと思い至りました。つまり、山頂から港まで徒歩で一気に下るということです。

この判断がとても悪く、山頂～登山口　よりも　登山口～港のほうがはるかに時間がかかり、体力を消耗しました。また、船の乗船までの時間を大幅にロスしてしまいました。

大島にある火山博物館です。大島の成立と三原山の火山活動について学ぶことができます。こういう時に地学を勉強しておけばよかったと後悔します。山頂のライブカメラがあるので、ここで山頂の様子を確認してから行くといいかもしれません。

伊豆七島 ～利島～

伊豆七島の一つ、利島に行った時の話です。

利島へ行ったのはクリスマスイブの日でした。夜の十時ごろ、竹芝桟橋からさるびあ号で出発します。

翌朝、利島が見えてきました。特徴的なとんがり頭です。東京湾の都会的で美しい夜景とは打って変わって伊豆七島の野性的で駆り立てられるような景色が目の前に広がり、とてもワクワクとした気持ちになります。

利島に到着しました。利島で降りたのは４～５人くらいでした。大島、新島のほうがメジャーで利島で降りる人は少ないようです。

早速利島の山頂を目指して登り始めます。

利島の山中は鬱蒼としており、山道はあまり整備がされておらず、シダや枯れ木が道に飛び出していて、歩いていてとても欝々とした気持ちになります。クリスマスの日にこんなことをしているのは自分だけだろうと思いました。山頂も視界が開けておらず、眺めがあまりよくありませんでした。

帰りになぜか椿園に迷い込んでしまい、しばらく右往左往していました、人気がなく、とても心細い気持ちでした。

下山中に視界の開けた部分があり、そこで撮った写真です。利島の港です。地図で見ると利島はまん丸で可愛らしい形をしているので、角ばった港はとても目立ちます。島から３本の腕を出しているように見えます。

それぞれの役割について考えてみました。おそらく左のまっすぐな部分はフェリーなどの大型船が停泊する部分と予想しています。対して、右手の２本の腕は囲いを形成しているので、中に漁船などを停泊させる役割を持っていると考えられます。おそらく小さな有人島の港が持つべき必要十分の設備が備えられているのだと思います。

帰りに港で山頂方向に向けて撮った写真です。利島の三原山はとても美しい形を持っています。おそらく島全体の形としての美しさは伊豆七島で一番だと思います。

利島は大島や新島に比べて小さな島で、徒歩でも島全体を一周することができます。また、観光客も少ないため、一人で自由に探検してみたいという方にお勧めの島だと思います。

f(x) = cos(x) のフーリエ級数展開

三角関数自体をフーリエ級数展開すると、どうなるかを検証します。

今回考えるのは

についてです。

予想としては、フーリエ級数展開は様々な周期関数を三角関数の形で表すことを目標としているため、三角関数自体をフーリエ級数展開すると元の関数に戻るはずです。

では計算していきます。

まず、b_{n}は奇関数であることから、

a_{n}について、

n=0のとき、

n=1のとき、

     

n≧2 のとき、

 　　

  から、

以上から、

:　

ここで　a_{1}の項を一つだけ出してあげます。すると、

         

         

         

以上から、f(x)=cos(x) をフーリエ級数展開しても元の関数に戻ることが分かりました。

バーゼル問題

バーゼル問題とは、下のようなものです。

【バーゼル問題】

nを自然数として、

　　　をもとめよ。

言い換えれば、

　　を計算するとどうなるか？

ということです。

このように問題の意味は小学生でも理解できるにもかかわらず、高校数学の範囲を以てしても解くのは非常に困難です。

この級数は無限大に発散するようにも思えますが、実はある一定の値に収束し、不思議なことに円周率を含む値となります。

フーリエ級数展開を活用すれば比較的簡単に解くことができ、フーリエ級数展開のよい練習材料となっています。

この関数のフーリエ級数展開を考え、x=πを代入することで値を求めることができます。同様な考え方で、

についても考えることができます。

また、

この形はゼータ関数のζ(2)の値にもなっており、ゼータ関数との関連性も持っています。

階乗を含む級数

解けない。

地学を一週間勉強するとセンターで何点とれるのか？

素人が地学を一週間勉強するとセンターで何点取れるのか検証したのでまとめます。

物理と化学選択だったため高校以降で地学の勉強をしたことは一切ありません。小学校のころに地学分野として岩石の名前や気圧のことについては勉強しましたが、地学領域の知識はそこで止まっています。

今回はそんな自分がセンター地学に絞って勉強したら何点取れるようになるのかを検証してみたいと思います。

以下は結果です。

対策期間は1週間で、合計勉強時間は17.5時間、点数はH28センター追試で70点となりました。

学習時間と点数の推移をグラフにしました。

最初は問題の意味が理解できず、29点でした。しかし、自分の中では頑張ったほうです。自信をもって解けたのは3問くらいでした。8択の選択などもあり、運で当てることも難しいので、10点くらいの手ごたえでしたが、29点も取れていました。

そこから勉強したところ、問題の意味がかなり分かるようになり、あとは考えることで何とか自分なりの答えを出せるようにはなりました。そして、6日目に解いた過去問では70点を取ることができました。ただ、まだ圧倒的に知識が足りないので、改善の余地は多く残されています。

結論としては、センター試験に関し、物理・化学の難しさを考えると、受験科目で地学を選ぶことは十分にありなのではないかと考えます。

物理・化学・生物選択に比べて地学選択者は非常に少なく、さらに年々減少の一途をたどっており、

地学教育は危機的状況に陥っているそうです。

勉強した感触では、長い文章を読んで考えて解く問題が多いので、物理や化学よりは生物に近いように感じました。また、暗記で補える部分がかなり多いのも特徴です。計算問題もありますが、負担は非常に少ないと感じます。

地学がポピュラーな選択科目となれば、文系では生物と地学のうちから好みのものを選べるようになりますし、理系でも化学と地学といった新たな組み合わせができるようになり、選択肢の幅が広がります。

地学の楽しさや特徴が世間に広く知られることを願っています。

日本の港はなぜ角張っているのか？

東京都や大阪などの海に面している部分を写真で見てみると、大体角張っていることに気付く。

これは東京港の写真。

これは神戸港の写真。

写真で見ればわかるように、海岸線はほぼ直線で、丸みのある部分はない。

大きな港湾都市の海岸はほぼ角ばったものなので、比較小さな漁港ではそうではないのかというと、小規模な漁港でも角張った足場のようなものがわざわざ備え付けられている。

上は新潟県巻漁港で、砂浜にコンクリートでできた構造物が備え付けられている。

自然にできる海岸線はこのように角張っていることはなく、下のように丸みを帯びているか、ギザギザとしている。

これはなぜなのか？

港湾では船舶が往来する。天然の砂浜では船の底を砂で擦ってしまい、船を海岸線に係留することが困難である。険しい岩場ではどこに隠れた岩場（暗岩・洗岩）があるのかわからず、やはり非常に危険である。そこで、港の全体にある程度の深さがある必要がある。

また、船は灯台や目印を参考にしながら直線的に移動するのが基本なので、丸みがあったり、障害物がある複雑な海岸は入港するのに不便である。

つまり、

・ある程度の深さが保証されている。

・岩場などの危険な箇所がない。

・単純な操作で港に入港できる。

以上の点が港に必要な条件だと考えられる。

そこで、漁港などではある程度の深さがある沖にまで係留できる直線的な足場を延長し、漁船などを留めやすくしていると考えられる。大都市の港湾では大規模な埋め立てなどによって海岸線そのものを直線化し、水深を深くすることで、大型船舶の往来に便利なようにしている。このように、港が角ばっているのは、船の交通に便利なようにするためなのである。