調和級数(Partial sum of Harmonic series)の部分和は特別に「調和数("Harmonic number")」という名前が付けられているようです。
一般に、
として定義されているようです。
調和数には積分による表現とコンビネーションを用いた表現が見出されており、今回はそれについて紹介します。
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１、積分による表示
２、コンビネーションを用いた表示
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積分による表示については、以下の式
を用いて左の積分を計算すれば証明可能です。
この積分表示について、
という置換をし、
として (1-u)^n を二項定理により分解して計算すると証明できます。
途中で
とするのがコツです。
積分やコンビネーションを用いて表現できるというのが興味深いところです。特に積分による表示はとてもシンプルにまとまっています。ただ、インテグラルやシグマを用いて表しているので初等関数のみで表現されているわけではありません。