関数の極限
「今日は比べてつなげてまとめて覚える数学」の数Ⅲ編。
関数の極限について。
極限計算については、以前に「三角関数(sin)の極限」、「eに関する極限」
で紹介しました。
今回は追加問題ということで、下記４つの例題を用意しました。
例題１と２、３と４がそれぞれ類似しています。
例題２は１の式にxが掛けてあり、
例題３はｘ→２であるのに対して
例題４はｘ→∞になっています。
下記、解答です。
意外に例題２より例題１の方ができない人がいます。
logが入っている式なので、logに関する極限公式が使える形に
変形しよう！…ん？…あれ何かが足りない…という思考回路になっているようです。
素直に対数の計算の性質から、式変形し、ｘ→∞のとき、1/x→0 を考えれば解けます。
例題２は、logに関する極限公式を用いて解け、特に難しくはなかったと思います。
例題３は0/0の不定形なので
「因数分解」⇒「約分」⇒「代入」で
例題４は∞/∞の不定形なので
「分母・分子を最高次の項で割って」⇒ｘ→∞のとき、1/x→0 で求めます。
いかがでしたか？
これらを比べてつなげてまとめて覚えてくださいね！
下記、HPでも無料チャートを公開しているので覗いて見てください！
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極限計算については、以前に「三角関数(sin)の極限」、「eに関する極限」
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例題１と２、３と４がそれぞれ類似しています。
例題２は１の式にxが掛けてあり、
例題３はｘ→２であるのに対して
例題４はｘ→∞になっています。
下記、解答です。
意外に例題２より例題１の方ができない人がいます。
logが入っている式なので、logに関する極限公式が使える形に
変形しよう！…ん？…あれ何かが足りない…という思考回路になっているようです。
素直に対数の計算の性質から、式変形し、ｘ→∞のとき、1/x→0 を考えれば解けます。
例題２は、logに関する極限公式を用いて解け、特に難しくはなかったと思います。
例題３は0/0の不定形なので
「因数分解」⇒「約分」⇒「代入」で
例題４は∞/∞の不定形なので
「分母・分子を最高次の項で割って」⇒ｘ→∞のとき、1/x→0 で求めます。
いかがでしたか？
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解と係数の関係と次数下げ
皆さん、いつもあたたかいコメント、メッセージありがとうございます！
今日は『解と係数の関係』と『次数下げのテクニック』について。
まずはこの問題を解いてみてください。
■問題
皆さんはこの問題をどのように解きましたか？
ほとんどの人は、『解と係数の関係』を使って解くことをイメージしたのでは？
つまり、
与式は対称式なので、展開して、『解と係数の関係』よりα+βとαβの値を代入して、計算すれば解ける！と考えたのではないかと思います。
もちろん、考え方として正しく、解法として間違えではないですのですが、
展開して、式変形をして、計算するのは面倒で時間がかかってしまいます。
次数が高くなった場合には、さらに大変です
そこで,『解と係数の関係』と関連付けてて覚えてほしいのが、
『次数下げのテクニック』です。
『次数下げのテクニック』というのは、知っている人も多いと思いますが、文字通り、計算を楽に行うために、次数を下げていく方法で、
次数下げには
①整式の割り算をして、除法の原理より次数を下げる方法
②方程式が成り立つことを利用して、地道に次数を下げていく方法
の２つがあり
②については、
例えば、
xの2乗＋ax＋b＝0 の解の１つがαのとき
「方程式の解の１つがα」ということは,「方程式にαを代入して成り立つ」ことがいえるので
αの2乗＋aα＋b＝0 が成り立ちます。
そこで、この式を、αの2乗＝－aα－bと変形して、次数を下げていくのです。
この例では,2次から1次に下がりましたね。
当然、次数が高い式より、次数が低い式に代入した方が計算が楽ですからね。
本問題では、このテクニックを使うと一瞬で求めることができます！
■解答
いかがでしたか？
本問のように、『解と係数の関係』を使って解くのが面倒なとき等、『次数下げ』が有効な場合があります。
是非、『解と係数の関係』と『次数下げのテクニック』をセットにして覚えてほしいと思います。
①の解法については次回以降に解説しますね。
☆☆☆☆☆お知らせです！！☆☆☆☆☆
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☆本文に
・希望するチャート名(「積分計算早見チャート」または「油脂の計算問題 完全攻略チャート」)
・氏名
・年齢
・メールアドレス
を記載して,「gaku-sアットマークh8.dion.ne.jp」までご連絡ください。
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まずはこの問題を解いてみてください。
■問題
皆さんはこの問題をどのように解きましたか？
ほとんどの人は、『解と係数の関係』を使って解くことをイメージしたのでは？
つまり、
与式は対称式なので、展開して、『解と係数の関係』よりα+βとαβの値を代入して、計算すれば解ける！と考えたのではないかと思います。
もちろん、考え方として正しく、解法として間違えではないですのですが、
展開して、式変形をして、計算するのは面倒で時間がかかってしまいます。
次数が高くなった場合には、さらに大変です
そこで,『解と係数の関係』と関連付けてて覚えてほしいのが、
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『次数下げのテクニック』というのは、知っている人も多いと思いますが、文字通り、計算を楽に行うために、次数を下げていく方法で、
次数下げには
①整式の割り算をして、除法の原理より次数を下げる方法
②方程式が成り立つことを利用して、地道に次数を下げていく方法
の２つがあり
②については、
例えば、
xの2乗＋ax＋b＝0 の解の１つがαのとき
「方程式の解の１つがα」ということは,「方程式にαを代入して成り立つ」ことがいえるので
αの2乗＋aα＋b＝0 が成り立ちます。
そこで、この式を、αの2乗＝－aα－bと変形して、次数を下げていくのです。
この例では,2次から1次に下がりましたね。
当然、次数が高い式より、次数が低い式に代入した方が計算が楽ですからね。
本問題では、このテクニックを使うと一瞬で求めることができます！
■解答
いかがでしたか？
本問のように、『解と係数の関係』を使って解くのが面倒なとき等、『次数下げ』が有効な場合があります。
是非、『解と係数の関係』と『次数下げのテクニック』をセットにして覚えてほしいと思います。
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√(ルート)の掛け算
皆様、あけましておめでとうございます。
本年も宜しくお願い致します！
今日は、「意外に知らない？数学」のルートの掛け算について。
■問題
次の計算をせよ。
√－2×√－3
※わかりにくいですが、ルートの中に－2、－3が入っております。
■誤答
√－2×√－3
＝√(－2)×(－3) ※ルートの中に(－2)×(－3)が入っております。
＝√6
これは、よくある誤答例で正しい解答は
■解答
√－2×√－3
＝√2i×√3i
√6×(iの2乗)
＝－√6
となります！
■□■□■□√の掛け算の注意点■□■□■□
a≧0,b≧0のとき
√a×√b＝√ab
です。
√の掛け算ができるのはa,bともに0以上というルールがあります！
√の中が－の場合は、iとして、√の外に出して計算するように注意してください。
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＝√6
これは、よくある誤答例で正しい解答は
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＝√2i×√3i
√6×(iの2乗)
＝－√6
となります！
■□■□■□√の掛け算の注意点■□■□■□
a≧0,b≧0のとき
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です。
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