解と係数の関係と次数下げ
皆さん、いつもあたたかいコメント、メッセージありがとうございます！
今日は『解と係数の関係』と『次数下げのテクニック』について。
まずはこの問題を解いてみてください。
■問題
皆さんはこの問題をどのように解きましたか？
ほとんどの人は、『解と係数の関係』を使って解くことをイメージしたのでは？
つまり、
与式は対称式なので、展開して、『解と係数の関係』よりα+βとαβの値を代入して、計算すれば解ける！と考えたのではないかと思います。
もちろん、考え方として正しく、解法として間違えではないですのですが、
展開して、式変形をして、計算するのは面倒で時間がかかってしまいます。
次数が高くなった場合には、さらに大変です
そこで,『解と係数の関係』と関連付けてて覚えてほしいのが、
『次数下げのテクニック』です。
『次数下げのテクニック』というのは、知っている人も多いと思いますが、文字通り、計算を楽に行うために、次数を下げていく方法で、
次数下げには
①整式の割り算をして、除法の原理より次数を下げる方法
②方程式が成り立つことを利用して、地道に次数を下げていく方法
の２つがあり
②については、
例えば、
xの2乗＋ax＋b＝0 の解の１つがαのとき
「方程式の解の１つがα」ということは,「方程式にαを代入して成り立つ」ことがいえるので
αの2乗＋aα＋b＝0 が成り立ちます。
そこで、この式を、αの2乗＝－aα－bと変形して、次数を下げていくのです。
この例では,2次から1次に下がりましたね。
当然、次数が高い式より、次数が低い式に代入した方が計算が楽ですからね。
本問題では、このテクニックを使うと一瞬で求めることができます！
■解答
いかがでしたか？
本問のように、『解と係数の関係』を使って解くのが面倒なとき等、『次数下げ』が有効な場合があります。
是非、『解と係数の関係』と『次数下げのテクニック』をセットにして覚えてほしいと思います。
①の解法については次回以降に解説しますね。
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