関手の性質と随伴1：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12618803922.html
関手の性質と随伴2：https://ameblo.jp/karaokegurui/entry-12619031952.html
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５．さまざまな随伴の例
ここからは、随伴を構成する関手たちの例を取り上げます。
互いに逆向きの3つ以上の関手が随伴関係でつながっているとき、これを随伴の鎖(chain)といいます。
例示の最後の方では関手の関手も出てきて(5-10)、相当複雑になります。
5-1 代数の圏における忘却関手と自由関手
第1節では、忘却関手と自由関手について紹介しました。
2つの代数構造の圏について、その間の忘却関手U と自由関手F は多くの場合に次の随伴関係をもちます。
自由関手 ┤ 忘却関手，
または
F ┤U U ：忘却関手，F ：自由関手．
あるいは 標語的に
・自由関手は忘却関手の左随伴である。
・忘却関手は自由関手の右随伴である。
いくつか例を挙げると、
Grp CRing Vect k Ab
F↑ ┤↓U F↑ ┤↓U F↑ ┤↓U F↑ ┤↓U
Set Set Set Grp
他にもたくさんありますが、一つ一つを丁寧に説明するのは自由関手の部分が大変です。
最初のものだけみておくと、
ｇ：F Ｘ → Ｇ in Grp
ｆ ：Ｘ → U Ｇ in Set
例示として、2元集合 Ｘ＝｛ｘ, ｙ｝ と，位数3の巡回群（加法表示） Ｇ＝Ｃ3＝Ｚ3 をとります。
FＸ はｘとｙから生成される自由群（乗法表示）、UＧ は集合｛0, 1, 2｝となります。
さらに射の例として、
写像 ｆ ：｛ｘ, ｙ｝→｛0, 1, 2｝；ｘ|→1，ｙ|→2
をとると、
群準同型 ｇ；ｅ|→0，ｘ|→1，ｘ2|→2，ｘ3|→0，ｙ|→2，ｙ2|→1，ｙ3|→0
となります。
忘却関手と自由関手の随伴関係は、両者とも正確な定義があるわけではないので、多くの場合に成り立つというだけです。
ただ、最も簡単な代数構造の圏と見なすことのできる集合圏 Set への忘却関手に対しては、ほとんどの場合に左随伴となる自由関手が存在します。
一方で、忘却関手はほとんどの場合に右随伴をもちません。
でも、「ほとんどの場合」というのは当然例外があるわけで、その例外とは
・左随伴ももたない忘却関手 ： 体の圏から集合圏への忘却関手 U ：Fld→Set．
∵ 0 が乗法に関して逆元をもたないため
・左随伴だけでなく右随伴ももつ忘却関手 ：
群の圏からモノイドの圏への忘却関手（包含関手）U ：Grp→Mon．
左随伴F は、モノイドに、群にするのに必要な逆元を放り込む関手
右随伴S は、モノイドの元のうち、逆元をもつ元だけから群をつくる関手
Grp
F↑ ┤↓U ┤↑S
Mon
私の考えた例ですが、0 以外の整数が乗法に関してなすモノイド (Ｚ×, ×, 1) については、
左随伴による像は 0 以外の有理数の乗法群 (Ｑ×, ×, 1)、
右随伴による像は乗法群 (｛1, －1｝, ×, 1)
となります。
（ ( ) 内は (台集合, 演算, 単位元) の意味で、右上添字×は 0 を取り除くことを意味します。）
5-2 位相空間の圏 Top の忘却関手とその左右随伴
位相空間の圏 Top の対象は位相空間、射は連続写像です。
Top から Set への忘却関手U には、左右の随伴が存在します。
Top U ：忘却関手（位相空間をその台集合に写す）
↑ │ ↑ I ：集合に密着位相(indiscrete topology)を導入する関手
D ┤U ┤ I D：集合に離散位相(discrete topology)を導入する関手
│ ↓ │
Set
密着位相とはすべての部分集合が開である位相 O (Ｘ)＝P (Ｘ)、
離散位相とは全空間Ｘと空集合∅だけが開集合である位相 O (Ｘ)＝｛Ｘ, ∅｝ です。
ただし、O (Ｘ) は位相空間Ｘの開集合系（開集合全体の集合）、P (Ｘ) は集合Ｘのべき集合（部分集合全体の集合）。
以下、Ｘを位相空間、Ｙを集合とします。
UＸ → Ｙ in Set
Ｘ → IＹ in Top
上→下：任意の写像 ｆ に対して、密着位相空間 ＩＹ の開集合Ｙと∅の逆像は
ｆ－1(Ｙ)＝Ｘ，ｆ－1(∅)＝∅ となるので、ｆ は連続写像となります。
下→上：連続写像は写像なので、Top の射は Set の射です。
DＹ → Ｘ in Top
Ｙ → UＸ in Set
下→上：離散位相空間 DＹ の部分集合はすべて開集合なので、任意の写像 ｆ に対して 位相空間Ｘの開集合Ｕの逆像 ｆ－1 (Ｕ) も開集合となり、ｆ は連続写像となります。
5-3 小圏の圏 Cat の忘却関手と随伴の鎖
小圏の圏 Cat から Set への忘却関手を含む次の随伴の鎖が存在します。
Cat
│ ↑ │ ↑
C ┤D ┤O ┤I
↓ │ ↓ │
Set
O ：小圏をその対象(object)のつくる集合に写す関手。
小圏間の関手は集合間の写像に写されるが、小圏内の射は無視される。
D ：集合を離散圏(discrete category)に写す関手。
離散圏とは、恒等射以外の射をもたない圏。
I ：集合の全要素間に前順序≦を導入して前順序圏に写す関手。
すべての対象間で成り立つ≦を射とみなす。
∀ｘ,ｙ (ｘ≦ｙ ∧ ｘ≧ｙ)．
C ：小圏を「対象間に射が存在する」という同値関係で割った商集合に写す関手
「対象間に射が存在する」という同値関係で割るとは、射でつながった複数の対象、たとえば次のＸ, Ｙ, Ｚ, Ｗ, Ｖを同一視する(一つにまとめて考える)ということ。
Ｘ Ｚ Ｖ
↘ ↙ ↘ ↙
Ｙ Ｗ
なお、関手C は左随伴をもたず、関手 I は右随伴をもたないので、この鎖はこれ以上左右に伸びません。
関手O は小圏の構造を忘れる忘却関手なので、U を使ってもいいと思いますが、ここでは対象Objectの頭文字をとっています。
関手D と I は対象については同じですが、射について異なります。
DＸ → Ｓ in Cat
Ｘ → OＳ in Set
DＸ→Ｓ：離散圏 DＸ を小圏Ｓに写す関手。
Ｘ→OＳ：集合Ｘを小圏Ｓの対象集合に写す写像。
ｇ：DＸ→Ｓ は、小圏 DＸ の対象ｘをＳの対象ｓに写し、DＸ の恒等射 1x をＳの恒等射 1s に写す。DＸ には恒等射以外の射は存在しない。
ｆ ：Ｘ→ OＳ は、集合Ｘの元ｘを OＳ の元 O(ｓ) に写す。
OＳ → Ｘ in Set
Ｓ → IＸ in Cat
OＳ→Ｘ：小圏Ｓの対象集合を集合Ｘに写す写像。
Ｓ→ IＸ：小圏Ｓを前順序圏 IＸ に写す関手。Ｓの射 ｓ→ｔ は ｘ≦ｙ ∈ＩＸ に写される。
ｇ：OＳ→Ｘ は、集合 OＳ の元をＸの元に写す。
ｆ ：Ｓ→ IＸ は、小圏Ｓの対象ｓを IＸ の対象ｘに写し、Ｓの射 ｈ：ｓ→ｔ を ＩＸ の射 ｈ(ｓ)≦ｈ(ｔ) に写す。ｈ(ｓ)≦ｈ(ｔ) は、ｈ(ｓ) から ｈ(ｔ) への唯一の射。
CＳ → Ｘ in Set
Ｓ → DＸ in Cat
CＳ→Ｘ：小圏Ｓからできる商集合を集合Ｘに写す写像。
Ｓ→DＸ：小圏Ｓを離散圏 DＸ に写す関手。
ｇ：CＳ→Ｘ は、集合 CＳ の元をＸの元に写す。
ｆ ：Ｓ→DＸ は、小圏Ｓの対象ｓとｓに射で連結しているすべての対象 ｓ', ｓ" を離散圏D Ｘの対象ｘに写し、Ｓの射 ｈ：ｓ'→ ｓ" を DＸ の恒等射1xに写す。
-------------------------- 続 く ---------------------------