今日も、ゆーじさんが新しい数学オモチャを見せてくれました。
なんでしょう？
同じ形のピラミッドのような立体が６個。
よく見ると、立方体で構成されています。
一番上が立方体１個、次の段が同じ立方体４個、次が９個、次が１６個、最後が２５個です。
つまり、１の２乗、２の２乗、３の２乗、４の２乗、５の２乗のブロックを積み重ねて作ったピラミッドなんですね。
これは、もともと、級数の説明に使うものだそうです。
数学の式では、Σk^2=1^2+2^2+3^2+4^2+・・・+n^2（○^2は○の２乗の意味で、Σは数学で和をしめす記号。kの２乗の和をk=1からk=nまで行うという数学記号です）が、次のような式で表されることが、証明できます。（高校の数学のレベルで証明できます）
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6・・・（１）
さて、これを実物で見せようというのが、ゆーじさんのこのオモチャ。
ピラミッドの一つ一つはこの形で、１の段から、５の段まであります。上の式で、n=5とした場合の合計は、このピラミッドの１マスの立方体の数で示せます。この場合は、
1+4+9+16+25=55
ですね。
先ほどの式に当てはめれば、[5×(5+1)×(2×5+1)]/6=55となります。
でも、これでは、わざわざ立体のオモチャを作った意味がありません。
このオモチャは、こんな感じでつかいます。
まず、３つのピラミッドをうまく組み合わせて、こんな形の立方体みたいなのを作ります。が、ぴったりとした立方体にはなりません。横に一列、階段のようにはみ出た部分ができます。
四角錐の体積は理論上は四角柱の１／３なのですが、それは、稜線が一直線のとき。このピラミッドも、立方体のブロックを限りなく小さくした極限を考えれば、３つ重ねれば大きな立方体に組み上げることができます。（あくまでも、理論的な話ですが）
さて、この２つをさらにこうすると・・・
今度は、あまりのない直方体ができます。
この直方体は、５マス×６マス×１１マスの直方体ですが、この直方体は６つの同じ形のピラミッドからなりますから、ピラミッド１個の体積は、この直方体の１／６です。
そこで、
ピラミッドの体積＝(5×6×11)/6
となりますが、この式は、上の方の（１）の式で、n=5としたときの
[5×(5+1)×(2×5+1)]/6
と同じ式になります。
このピラミッドのブロックの数は、さきに示したように、1+4+9+16+25ですが、これは、次のようにも書けます。
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2
したがって、
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=[5×(5+1)×(2×5+1)]/6
で、２乗の和の公式
Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6・・・（１）
の、n=5のケースに当たります。
つまり、この数学オモチャは、２乗の和の公式を、２乗ピラミッドの体積で示すオモチャなんですね。
・・・というのが、数学での使い方。
なおこのオモチャの展開図は、こちらです。
このピラミッドのオモチャは、もともとどこかの教科書で紹介されていたものだそうですが、ゆーじさんはこれを厚紙でつくるべく、上のような展開図を考え、作成に成功しました。
これを組み上げるのは、かなりの根気がいりそうです。
でも、ぼくにとっては、このピラミッド、別の使い方ができるなあ、と思いました。
ガリレオが落下運動つまり等加速度運動を研究したとき、等加速度運動の性質として、次のようなことがあると、記しています。
同じ時間に移動する距離は、１，３，５，７，９・・・と、奇数で伸びていく。
等加速度運動の出発点からの距離sは、１秒、２秒、３秒、４秒、５秒・・・とたつにつれて、
s=1^2、2^2、3^2、4^2、5^2・・・
となります。
さきほどのピラミッドで見ると、このsは、ちょうどピラミッドの１段目、２段目、３段目、４段目、５段目・・・の立方体の数に当たります。
このピラミッドでは、下の段のマスは上の段のマスに一部が隠されていますが、見えている段の数を数えると、上から、１マス、３マス、５マス、７マス、９マス・・・になっています。
これこそ、ガリレオが主張した等加速度運動の特徴を表しているのですね。
通常だと、実際にs=1/2･t^2の式にt=1、2、3、4、5・・・をあてはめ、さらにそれらのsの値を引き算することで1、3、5、7、9・・・を出すか、時間と変位のグラフを書いて、同じ時間感覚で区切ると、その間の距離の伸びが1、3、5、7、9・・・となることを示します。
でも、このピラミッドで２乗の数の増え方を一目で見ることで、それが直感的に把握できます。これは、使えますね。
ゆーじさん、サンキューです。
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