こんばんは！学習塾チェックマンです。
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残る北辰テストも数回になってきましたね。
１つ１つの模試が受験本番だと意識していきましょう。
ではでは！
第５回北辰テスト（数学）の解説です。いつものようにお手元に問題用紙を準備！
それでは解説スタート！
大問１ 小問集合（４６点）
何度も何度も伝えます。
１ページ目は完答しましょう！２８点！
きっちり取れていますか？
ここで計算ミスをしてしまう場合、毎日北辰の大問１（１ページ目のみ）を解くべきです。
計算の方法が分かっていないのですから。
計算には、ルールがあります。
ルールを守らないほど、つまらないものはないですよね？
（８）は外角の和。３６０°になりますね。
似た問題では
・正多角形の１つの外角
・ｎ角形の内角の和
・正多角形の１つの内角
・内角と外角の和
全部、言えますか？
周辺知識というのは、こういうことです。
（９）反比例。反比例は、ｘとｙを掛けると一定の値（比例定数）になりますよ。
（１０）空間図形。三角錐ですね。
（１１）１次方程式の利用。
①文章を整理してみましょう。
ある数に９をたして７でわるところを、ある数から７を引いて９で割ったため、計算結果
は
正しい答えより４小さくなりました。
です。
もう少し変換してみましょう。
間違った計算結果（ある数から７を引いて９で割る）
は
正しい計算結果より４小さい（ある数に９をたして７で割る）
これです。
最も重要なポイントは
は
です。
これは、イコールにになりますよ！
これを式にしてみると
あとは、方程式を解いて、正しい答えを求めてください。
大問２（２６点）
（１）作図
この作図はできてほしいところ。
※作図のポイント！
聞かれている条件を見極める！
点と線→垂線
点と点→垂直二等分線
線と線→角の二等分線
６０°→正三角形
①∠BCP=∠DCP
点Pは作図したい点なので、いったんこれをスルーすると
BCとDCが出てきます。
これは、線と線です。なので、角の二等分線を作図します。
②AP＝AB
ABの長さをコンパスで測り、点Aからぐるっと円を書きましょう。
①との交点が点Pになります。
（２）確率
コインを投げる問題は樹形図です。
それ以外は、基本的に表で解けます。
（３）平方根
平方根の大小関係は、２乗しましょう。
（４）箱ひげ図
まず、箱ひげ図から分かることは５つ。
①最小値
（０～２５％）
②第一四分位数
（２５～５０％）
③第二四分位数（中央値）
（５０～７５％）
④第三四分位数
（７５～１００％）
⑤最大値
この５つです
（５）規則性
弧の長さの求め方は？
ア 文章をよく読みましょう。Aさんががっつり発言していますね。
Aさん「円が３個の場合は、半径が６cmの円の周３個分の長さから、
半径が６cm、中心角が９０°のおうぎ形の弧４個分の長さを引けばよいので」
つまり
半径６cmの円周×３－半径６cm、中心角９０°のおうぎ形の弧×４
を計算します。
後半の【半径６cm、中心角９０°のおうぎ形の弧×４】は、【円】ですね。
なので半径６cmの円周×２で求めることができます。
イ 被っている部分の中心角が６０°のパターンですね。しかも、具体的な数ではなく、ｎ個のとき。
ここで注意してほしいのは、
いきなりｎ個のパターンを考えてしまうこと
です。
これをやってしまうと時間がかかります。
では、何をするのか？
というと、数えます。小さい順から。
例えば。
ｎ＝１のとき
円周。
ｎ＝２のとき
円周×２から、中心角６０°の弧×２を引く
ｎ＝３のとき
円周×３から、中心角６０°の弧×４を引く
これらを計算して、表にまとめますね。
|
ｎ |
１ |
２ |
３ |
・・・ |
ｎ |
|
Qの周 |
１２π |
２０π |
２８π |
・・・ |
|
スタートが１２πで、８πずつ増えていますね！
上記のような、一定の数増えるものを等差数列というのですが、
等差数列と言われているだけあって、公式が存在します。
ｎ番目の数＝（最初の数）+（増える数）×（ｎ－１）
です。当てはめてみると
（最初の数）＝１２π
（増える数）＝８π だから
12π-8π(n - 1)
=12π-8πn + 8π
=4π + 8πn
となります。
ウ Qの周と同様にPの周を考えていきましょう。
Pの中心角は、９０°でした。
ｎ＝１のとき
円周。
ｎ＝２のとき
円周×２から、中心角９０°の弧×２を引く
ｎ＝３のとき
円周×３から、中心角９０°の弧×４を引く
よって、計算すると
|
ｎ |
１ |
２ |
３ |
・・・ |
ｎ |
|
Qの周 |
１２π |
２０π |
２８π |
・・・ |
４π+８πｎ |
|
Pの周 |
１２π |
１８π |
２４π |
・・・ |
６π+６πｎ |
となります。
あとは、Qの周が、Pの周より３０πcm長くなると言っているので
Q－P＝３０π
を解きましょう。
(4π+8πn)-(6π+6πn)=30π
4π+8πn-6π-6πn=30π
2πn-2π=30π
2πn=32π
n=16
大問３（１１点）
１次関数です。
苦手でも、２分で（１）だけ解きましょう。５点を確実に取れればOKです。
（１）２点を通る直線の式。
O(0,0）、C(1,6)を通っていますよ。
１次関数の式に代入しても解けますし、原点を通っているので比例の式でもできます。
２分で５点。これは取りたいところです。
（２）三角形の面積
座標は画像を参考にしてください。
A（4,0） ｍの式にy=0代入
B(-5,0) lの式にy=0代入
X軸との交点は、y=0を代入して解けばOK！
C(1,6) 交点⇒連立方程式
定番の考え方です。交点は連立。
画像①
P(a,-2a+8)
このPはどの直線にいますか？
直線lですね。なので、直線lの式のxをaにすればOKです。
画像②
Q(-2a+3,-2a+8)
①でPを求めたら、次はQです。
ここでは、Pと平行に、と言っているので、ｙ座標が同じになります。
なので、Qのｙ座標はPのｙ座標。
そして、このQはどの直線にいますか？
直線mですね。なので、直線mの式のｙを-2a+8にして、その時のxを求めましょう。
これですべての座標が出ました。
では、面積を求めていきましょう。
今聞かれているのは
△PBQの面積が△ABCの 1/9 倍
ということです。
なので、△PBQと△ABCを求めていきましょう。
まずは、△ABCです。
△ABCの底辺はABの９
高さはC(1,6)のｙ座標です。よって、６
計算すると２７ですね。
では次に、△PBQの面積。
底辺はPQで、高さはPのｙ座標だから-2a+8
・・・底辺はどうやって求めますか？
これは覚えておいて欲しい考え方ですが
座標平面で長さを求めるとき
ヨコの長さ＝右－左（ｘ座標）
タテの長さ＝上－下（ｙ座標）
となります。
なので、△PBQの高さも実はこれを使っています。
ヨコの長さ、つまり底辺PQですが
右のｘ座標はa
左のｘ座標は-2a+3
ヨコの長さは
右－左なので
a-(-2a+3)
=3a-3
となります。
あとは
△PBQ=1/2(3a-3)(-2a+8)
これを計算した値が△ABCの面積の1/9、つまり３になればOKです。
最終的に２次方程式になり、解の公式も使います。
出てくる解ですが
a=(5±√5)/2
です。
これらの値は、画像の青マーカーの変域にいるので、両方とも解になります。
難しかったですね。
でも、大問３は全滅せず、（１）だけでも取りましょう。
大問４（１７点）
二等辺三角形たくさんある問題でした。
（１）証明
模範解答参照。
証明する前に、きちんと図に記していくことも忘れずに。
いきなり解答を書き始めるのはNGですよ。
（２）角度
ここでも二等辺三角形の定理を使って角度を出していきます。
二等辺三角形は、底角が等しくなりますね。
※（１）の証明が解けなかったとしても、角度の問題はチャレンジしてみましょう！
その時には、（１）の図形が合同である、ということも忘れずに。
（３）面積。難問です。
チャレンジ精神おおいに結構ですが、他の問題でミス連発をして
この問題に多く時間を割いてしまっている人は
自分の克服すべき課題と真剣に向かい合えていません。
実際にここまでの問題で、あなたの解答はどうでしたか？？
極端な話、この問題までの９５点分が「正解できている！」と確信をもってから
この最終問題に臨むべきです。そうでないなら時間を割くべきではありません。
画像で説明しますね。
まず、問題文の確認です。
それぞれの面積を図示しました。
次に、合同な三角形を見つけます。
△ABG≡△FEGです。
①
AB＝AC（二等辺三角形）
AC＝FE（（１）の合同）
よって、AB＝FE
②
赤×＝１８０°－９０°－青×
赤×＝９０°－青×
∠ACB＝９０°－青×
∠ABG＝９０°－青×
また、
∠FEG＝９０°－青×
よって
∠ABG＝∠FEG
③
対頂角
これで合同ですね。
合同が分かると△FEGの面積は１１です。
△FHE＝５だったので、△GHF＝６になります。
ここでポイント。
頂点が同じ三角形の面積の比は、底辺の比と等しい
この性質を使います。
面積比 △EDH：△EFH＝３：５
となるので
辺の比 DH：HF＝３：５
となります。
これを青斜線の三角形にも使ってみます。
そうすると
面積比→△GDF：△GHF＝８：３←辺の比
△GDF：６＝８：３
これを求めると４８/５になります。
△ABG≡△FEGから
AG＝FGとなります。
辺の比が等しいので、面積比も等しいですね。
よって、赤い面積も４８/５です。
次でラスト！
頑張りましょう！
△ADF＝４８/５×2=96/５
ここから、△ACD＝８と△GHF＝６を引いたらゴールです。
求めたい答えは26/５です。
何度も何度も繰り返しますが、解き直しは必ずしましょう。
特に、大問１と大問２を重点的に！
結果が返ってきたら正答率を見ながら自分が解くべき問題をさらに解き直し！
これで３回解いたことになりますよね！
中学３年生は、人生で最も頑張らなければならない内の１年だと思いますよ！
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