4次元球の体積
n=2 のとき，これは2次元平面での「球」だから，私たちが日常的にみかける「円」になる.xy平面上での半径がrの円の方程式は，x²+y²=r²であるので，この範囲で積分をした∫∫dxdy の値が円の面積になる.実際にこの計算をやってみよう.x²+y²=r² よりy²=r²-x²y=±√(r²-x²)であるので，S=∫∫dxdy=2∫[-r,r]√(r²-x²)dx=2²∫[0,r]√(r²-x²)dxを求めればいい. x=rsinθと置換するとdx=rcosθdθ√(r²-x²)=rcosθ だから∫[0,r]√(r²-x²)dx=∫[0,π/2]r²cos²θdθ=(r²/2)∫[0,π/2](1+cos(2θ))dθ=πr²/4 .......⑴であるので，S=πr² になる.n=3 のとき，私たちが日常にみる「球」になる.3次元空間での 球の方程式は，x²+y²+z²=r² であるので，この範囲で積分した∫∫∫dxdydz が球の体積になる.実際にこの計算をやってみよう.x²+y²+z²=r² よりz²=r²-x²-y²z=±√(r²-x²-y²)であるので，V=∫∫∫dxdydz=2∫[-r,r]dx∫[-√(r²-x²),√(r²-x²)]√(r²-x²-y²)dy=2³∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]√(r²-x²-y²)dyここで，√(r²-x²)=tとしてV=2³∫[0,r]dx∫[0,t]√(t²-y²)dy⑴の結果∫[0,r]√(r²-x²)dx=πr²/4を使って，∫[0,t]√(t²-y²)dy=πt²/4だから，V=2³∫[0,r]πt²/4dx=2³∫[0,r]π(r²-x²)/4dx=2π(r³-r³/3)=4πr³/3.....⑵となる.n=4のとき，４次元空間での「円」になり，これは私たちは，想像できない.しかし，数学的には，4番目の新しい座標uを付け加えて，x²+y²+z²+u²=r² が「4次元球」であることがわかる.したがって，∫∫∫∫dxdydzdu の計算をした結果が「4次元球」の体積になる. これまで円（2次元球）や球（3次元球）でやった同じ計算をすればいい.実際にやってみよう.x²+y²+z²+u²=r² よりu²=r²-x²-y²-z²u=±√(r²-x²-y²-z²)であるので，V=∫∫∫∫dxdydzdu=2∫[-r,r]dx∫[-√(r²-x²),√(r²-x²)]dy∫[-√(r²-x²-y²),√(r²-x²-y²)]√(r²-x²-y²-z²)dz=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]dy∫[0,√(r²-x²-y²)]√(r²-x²-y²-z²)dzここで，√(r²-x²-y²)=tとしてV=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]dy∫[0,t]√(t²-z²)dz⑴の結果より∫[0,r]√(r²-x²)dx=πr²/4 だったので，∫[0,t]√(t²-z²)dz=πt²/4=π(r²-x²-y²)/4V=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]π(r²-x²-y²)/4dyここで，√(r²-x²)=sとしてV=2⁴∫[0,r]dx∫[0,s]π(s²-y²)/4dy⑵の結果より2³∫[0,r]π(r²-x²)/4dx=4πr³/3だったので，∫[0,r]π(s²-x²)/4dx=πs³/6よって，V=2⁴∫[0,r]πs³/6dx=(8π/3)∫[0,r]s³dx=(8π/3)∫[0,r](r²-x²)√(r²-x²)dxここで，x=rsinθ と置換して，∫[0,r](r²-x²)√(r²-x²)dx=r⁴∫[0,π/2]cos⁴θdθ=3πr⁴/16以上よりV=π²r⁴/2 になる.これが「4次元球」の体積である.＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊この計算結果をもう一度見てみよう2次元球（円）では，三角関数を使って求めると，S=2²r²∫[0,π/2]cos²θdθ になり， ∫[0,π/2]cos²θdθ=π/4 であったので，S=πr² になった.3次元球では，V=∫∫∫dxdydz=2∫[-r,r]dx∫[-√(r²-x²),√(r²-x²)]√(r²-x²-y²)dy=2³∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]√(r²-x²-y²)dyとして，ここで，√(r²-x²)=tとしてV=2³∫[0,r]dx∫[0,u]√(t²-y²)dyとなり，この重積分の一番右の項は， ∫[0,u]√(t²-y²)dy=t²∫[0,π/2]cos²θdθと置換積分ができるので，V=2³∫[0,r]t²dx*∫[0,π/2]cos²θdθとなる.√(r²-x²)=t だったので， x=rsinθと置換すれば，t²=r²-r²sin²θ=r²cos²θdx=rcosθであるので，∫[0,r]t²dx=r³∫[0,π/2]cos³θdθになり，結局，V=2³r³∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθという形になる.実際に ∫[0,π/2]cos³θdθ=2/3∫[0,π/2]cos²θdθ=π/4という計算結果を使えば，V=2³r³*(2/3)*(π/4)=3πr³/4になる.2次元球（円）：S=2²r²∫[0,π/2]cos²θdθ3次元球（球）：V=2³r³∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθというように，とても規則的な形をしていることに気づくだろう.ということは，4次元球は，V=2⁴r⁴∫[0,π/2]cos⁴θdθ*∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθになるのではないかと予想できる.前述した計算過程で，上記のように変形できないかを考えてみよう.V=∫∫∫∫dxdydzdu=2∫[-r,r]dx∫[-√(r²-x²),√(r²-x²)]dy∫[-√(r²-x²-y²),√(r²-x²-y²)]√(r²-x²-y²-z²)dz=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]dy∫[0,√(r²-x²-y²)]√(r²-x²-y²-z²)dzここで，√(r²-x²-y²)=tとしてV=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]dy∫[0,t]√(t²-z²)dz⑴の結果より∫[0,r]√(r²-x²)dx=πr²/4 だったので，∫[0,t]√(t²-z²)dz=πt²/4=t²∫[0,π/2]cos²θdθV=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]dy∫[0,t]√(t²-z²)dz=2⁴∫[0,r]dx∫[0,√(r²-x²)]t²dy*∫[0,π/2]cos²θdθまずは，∫[0,π/2]cos²θdθ の部分は，出てきた.次に，∫[0,√(r²-x²)]t²dy の部分を分析しよう.√(r²-x²-y²)=t であるので，r²-x²-y²=t² であるので，∫[0,√(r²-x²)]t²dy =∫[0,√(r²-x²)](r²-x²-y²)dy で，√(r²-x²)=s として，=∫[0,s](s²-y²)dyy=s*sinθとすれば，=s³∫[0,π/2]cos³θdθよって，V=2⁴∫[0,r]s³dx*∫[0,π/2]cos³θdθ∫[0,π/2]cos²θdθ=2⁴∫[0,r](r²-x²)√(r²-x²)dx*∫[0,π/2]cos³θdθ∫[0,π/2]cos²θdθ最後に x=rsinθと置換して，∫[0,r](r²-x²)√(r²-x²)dx=∫[0,π/2](r²-r²sin²θ)*r²cos²θdθ=r⁴ ∫[0,π/2]cos⁴θdθとなるので，V=2⁴r⁴∫[0,π/2]cos⁴θdθ*∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθとまとめることができる.∫[0,π/2]cos⁴θdθ=3π/16∫[0,π/2]cos³θdθ=2/3∫[0,π/2]cos²θdθ=π/4という結果を使うと，4次元球の体積は，V=2⁴r⁴×(3π/16)*(2/3)*(π/4)=π²r⁴/2 になる.n次元球への一般化はhttps://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12551526057.htmlをみてください
![∫[0, ∞] (logx)/(1+eˣ) dx の解法奮闘記(2020/8/14追記）の画像](https://stat.ameba.jp/user_images/20200814/16/titchmarsh/45/eb/j/o0954130214804026037.jpg?cpd=100)