前回のブログ
https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12551179040.html
で
2次元球（円）の体積（面積）は，
2²r²∫[0,π/2]cos²θdθ
3次元球の体積は，
2³r³∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθ
4次元球の体積は，
2⁴r⁴∫[0,π/2]cos⁴θdθ*∫[0,π/2]cos³θdθ*∫[0,π/2]cos²θdθ
であることを示した.
また，
1次元球（半径rの直線）の体積（直径の線分）は，
2r∫[0,π/2]cosθdθ=2r
と考えることができる.
これより，帰納的に n次元球の体積V[n]は，
I[n]=∫[0,π/2]cosⁿθdθ
として
V[n]=(2r)ⁿ×I[n]×I[n-1]×I[n-2]×･･･×I[3]×I[2]
となることがわかると思う.
そこで，
I[n]=∫[0,π/2]cosⁿθdθ の値を求めてみよう.
I[n]=∫[0,π/2]cosⁿθdθ
=∫[0,π/2]cosⁿ⁻¹θ×cosθdθ
=∫[0,π/2]cosⁿ⁻¹θ×(sinθ)'dθ
=cosⁿ⁻¹θ×sinθ[0,π/2]+(n-1)∫[0,π/2]cosⁿ⁻²θ×(sin²θ)dθ
=(n-1)∫[0,π/2]cosⁿ⁻²θ(1-cos²θ)dθ
=(n-1)I[n-2]-(n-1)I[n]
よって
I[n]+(n-1)I[n]=(n-1)I[n-2]
nI[n]=(n-1)I[n-2]
よって
I[n]=(n-1)/n I[n-2]
という漸化式を与える.
I[0]=∫[0,π/2]dθ=π/2
I[1]=∫[0,π/2]cosθdθ=1
とすると
I[2]=(2-1)/2 I[0]=(1/2)(π/2)
I[3]=(3-1)/3 I[1]=2/3
I[4]=(4-1)/4 I[2]=(3/4)(1/2)(π/2)
I[5]=(5-1)/5 I[3]=(4/5)(2/3)
I[6]=(6-1)/6 I[4]=(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)
I[7]=(7-1)/7 I[5]=(6/7)(4/5)(2/3)
I[8]=(8-1)/8 I[8]=(7/8)(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)
と計算できる.
以上より nが偶数のとき
I[n]=(π/2)×{(n-1)(n-3)(n-5)･･･5×3×1}/{n(n-2)(n-4)･･･6×4×2}
=(π/2)(n-1)!!/n!!
nが奇数のとき
I[n]= {(n-1)(n-3)(n-5)･･･6×4×2}/{n(n-2)(n-4)･･･7×5×3}
=(n-1)!!/(n!!)
になる.
たとえば，n=5 の5次元球の体積は，
V[5]=(2r)⁵I[5]×I[4]×I[3]×I[2]
=r⁵2⁵×(4×2)/(5×3)*(π/2)×3/(4×2)×(2/3)×(1/2)(π/2)
=r⁵2⁵(π/2)²/(5×3)
=8π²r⁵/15
n=6の6次元球の体積は，
V[6]=(2r)⁶I[6]×I[5]×I[4]×I[3]×I[2]
=(2r)⁶(π/2)³/(6×4×2)
=π³r⁶/6
となる.
ところで，
I[n]×I[n-1] は
(π/2)×{(n-1)(n-3)(n-5)･･･5×3×1}/{n(n-2)(n-4)･･･6×4×2} × {(n-1)(n-3)(n-5)･･･6×4×2}/{n(n-2)(n-4)･･･7×5×3}
=(π/2)×(1/n)
になる.
上記の計算で，
I[6]×I[5]×I[4]×I[3]×I[2]
=(π/2)×(1/6)×(π/2)×(1/4)×(π/2)×(1/2)
=(π/2)³×(1/6!!)
I[5]×I[4]×I[3]×I[2]
=(π/2)×(1/5)×(π/2)×(1/3)
=(π/2)²×(1/5!!)
とできるということである.
したがって，V[n]は，
nが偶数(n=2m)のとき
V[2m]=(r)²ᵐ2ᵐπᵐ/(2m)!!=r²ᵐπᵐ/m!
ｎが奇数(n=2m+1)のとき
V[2m+1]=2ᵐ⁺¹r²ᵐ⁺¹πᵐ/(2m+1)!!
となる.
そして，これらをr で微分すれば，その球の「表面積」になる.
S=dv/dr で求めることができる.