この図のように一つの円の中に、３つの円がお互いに接するように設置する問題は「アポロニウスの問題」と呼ばれる．
https://ja.wikipedia.org/wiki/アポロニウスの問題
この問題に関して，中学校数学の範囲で解法が可能な問題を紹介する．
円O の内側に接する２つの円O₁，O₂を考える．この２つの円は接している．
この2つの円の共通接線ABとCDをつくる．
ABとCDの交点をP, 共通接線ABの接点をMとする．
このとき、AC=AD になることを証明しなさい．
＜証明＞ 図のような補助線を引く．
OO₁の延長と円Oの交点（接点）をE, OO₂の延長と円の交点をJ とする．
EAと円O₁の交点をH, JAと円O₂の交点をI とする．
点Aにおける円Oの接線をAKとする．
点Eにおける円Oの接線をEKとする．
EJを結ぶ．
点Aを通る円Oの直径をAFとする．AFとCDの交点をNとする．
△HO₁Eは，円O₁の半径が等しいので，二等辺三角形であるので， ∠O₁EH=∠O₁HE
△AOEは，円Oの半径が等しいので，二等辺三角形であるので， ∠OEA=∠OAE
∠O₁EHと ∠OEAは，共通だから， ∠O₁HE=∠OAE
同位角が等しくなり， HO₁ // OA
同様にして，OA // IO₂
△AHMと△AMEにおいて，∠Aは共通 接弦定理より ∠AMH=∠AEM
2組の角がそれぞれ等しいので， △AHM∽△AME
よって AH:AM=AM:AE だから AH×AE=AM² ･･･①
同様に，△AIM∽△AMJ より
AI:AM=AM:AJ だから AI×AJ=AM² ･･･②
①②より
AH×AE=AI×AJ･･･③
△AHIと△AJEにおいて，
∠Aは共通 ③より
AH:AJ=AI:AE 2組の辺の比とその間の角が等しいので，
△AHI∽△AJE
よって ∠AHI=∠AJE ･･･④ (四角形HEJIはひとつの円周上にあることがわかる)
また，円Oで接弦定理より，∠KAE=∠AJE･･･⑤
④⑤より ∠AHI=∠KAE 錯角が等しくなるので，AK//CD
点AはOの接点であるので， ∠KAO＝90°
よって AF⊥CD
AFが直径で，それに対して垂直に交わる弦はそれを二等分するので，CN=DN
△CANと△DANにおいて，ANは共通，CN＝DN，∠ANC＝∠ADN
二組の辺とその間の角が等しいので，△CAN≡△DAN
よって，AC=AD
